Questão 6 (Nível 1) da OBMEP 2007

Question

Sueli resolveu dar uma volta em torno de uma praça quadrada. Ela partiu do vértice P, no sentido indicado pela flecha, e caiu ao atingir \frac{3}{5} do percurso total. Qual ponto indica o lugar em que Sueli caiu?

A
O ponto A.
B
O ponto B.
C
O ponto C.
D
O ponto D.
E
O ponto E.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da OBMEP 2007

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Sueli resolveu dar uma volta em torno de uma praça quadrada. Ela partiu do vértice P, no sentido indicado pela flecha, e caiu ao atingir \frac{3}{5} do percurso total. Qual ponto indica o lugar em que Sueli caiu?

A
O ponto A.
B
O ponto B.
C
O ponto C.
D
O ponto D.
E
O ponto E.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como Sueli quer dar uma volta completa, os pontos B e D correspondem, respectivamente, a \frac{1}{2} e \frac{3}{4} do percurso. Como \frac{3}{5} é maior do que \frac{1}{2}, vemos que Sueli percorreu mais da metade do caminho, e portanto ultrapassou o ponto B. Por outro lado, como \frac{3}{5} é menor do que \frac{3}{4}, vemos que Sueli não chegou ao ponto D. Concluímos que ela caiu entre os pontos B e D, ou seja no ponto C.

[Figura: Um quadrado com o ponto P no vértice superior esquerdo e uma seta horizontal indicando o sentido do percurso para a direita ao longo do lado superior. No lado direito, há o ponto A no meio e o ponto B no vértice inferior direito; no lado inferior, o ponto C no meio e o ponto D no vértice inferior esquerdo; no lado esquerdo, o ponto E no meio.]

Podemos também resolver esse problema como segue. O trajeto da Sueli consiste dos 4 lados do quadrado, logo ela caiu quando chegou a \frac{3}{5} \times 4 = \frac{12}{5} de um lado. Como \frac{12}{5} = \frac{10}{5} + \frac{2}{5} = 2 + \frac{2}{5}, vemos que Sueli caiu depois de percorrer 2 lados completos e mais \frac{2}{5} de um lado. Com os 2 lados ela chegou ao ponto B, mas como \frac{2}{5} é menor que 1 ela não chegou ao ponto D. Como antes, vemos que ela caiu no ponto C.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

O percurso total é o perímetro do quadrado, que tem 4 lados iguais. Chame o lado de L; o percurso vale 4L.

Sueli caiu ao completar \frac{3}{5} do percurso:

Distância percorrida: \frac{3}{5}\cdot 4L = \frac{12}{5}L = 2{,}4L.
Ela parte de P e vai para A, depois B, depois C e D (sentido horário, pela seta). Cada vértice fica a um múltiplo inteiro de L de P: A em 1L, B em 2L, D em 3L.
Como 2L < 2{,}4L < 3L, ela passou por B e ainda não chegou a D. Ela está no lado BD, a 0{,}4L depois de B.

No lado inferior, o ponto C fica entre B e D, mais perto do meio do lado (a 0{,}5L de B). A posição 0{,}4L depois de B é próxima do meio do lado, e C é o único ponto marcado nesse trecho. Os pontos A, B, D e E ficam em outros lugares: A em 1L, B em 2L, D em 3L e E em 3{,}5L.

Logo, o ponto em que Sueli caiu é C.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA está a 1L de P, ou seja, \frac{1}{4} do percurso, e não \frac{3}{5}.
BB está a 2L, ou seja, \frac{1}{2} do percurso, menos que \frac{3}{5}.
DD está a 3L, ou seja, \frac{3}{4} do percurso, mais que \frac{3}{5}.
EE está a cerca de 3{,}5L, ou seja, \frac{7}{8} do percurso, bem além de \frac{3}{5}.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2007 · Questão 1 (Nível 3)Sueli resolveu dar cinco voltas em torno de uma praça quadrada. Ela partiu do vértice P, no sentido indicado pela flecha. Faltando do percurso total…

Ver como caiu na prova

Questão 6 no caderno Nível 1 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 1. Prova oficial ↗