Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2007

Question

área do hexágono regular ABCDEF é 45\ \text{cm}^2. Qual é a área do triângulo sombreado?

Hexágono regular ABCDEF com vértices A e B no topo, C à direita, D e E na base, e F à esquerda. Várias diagonais estão traçadas ligando vértices alternados (AC, CE, EA, FB, BD, DF). Um triângulo menor com um vértice em A, delimitado pelos segmentos AE, AC e FB, está sombreado em cinza.

A
2{,}0\ \text{cm}^2
B
2{,}5\ \text{cm}^2
C
3{,}0\ \text{cm}^2
D
3{,}5\ \text{cm}^2
E
4{,}0\ \text{cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

área do hexágono regular ABCDEF é 45\ \text{cm}^2. Qual é a área do triângulo sombreado?

Hexágono regular ABCDEF com vértices A e B no topo, C à direita, D e E na base, e F à esquerda. Várias diagonais estão traçadas ligando vértices alternados (AC, CE, EA, FB, BD, DF). Um triângulo menor com um vértice em A, delimitado pelos segmentos AE, AC e FB, está sombreado em cinza.

A
2{,}0\ \text{cm}^2
B
2{,}5\ \text{cm}^2
C
3{,}0\ \text{cm}^2
D
3{,}5\ \text{cm}^2
E
4{,}0\ \text{cm}^2

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Solução oficial da OBMEP

Como o hexágono é regular, suas diagonais são iguais. Logo o triângulo ACE da figura I é equilátero, e segue que C\hat{A}E = 60^\circ. Além disso, como AD é um dos eixos de simetria do hexágono, o triângulo APQ é isósceles; como ele já tem um ângulo de 60^\circ segue que ele é equilátero.

[Figura: Três ilustrações. A Figura I mostra um hexágono regular de vértices A, B, C, D, E, F com suas diagonais e linhas de simetria, destacando os pontos P, Q e R. A Figura II mostra o triângulo AFQ com altura h relativa ao prolongamento da base em F, P e Q. A Figura III mostra o hexágono totalmente subdividido em 18 triângulos.]

O mesmo raciocínio mostra que o triângulo FRP também é equilátero. Como o hexágono tem outro eixo de simetria que passa por P, os triângulos APQ e FRP são congruentes; como ambos são equiláteros todos os seus lados são iguais, e em particular temos PQ = FP. Assim, os triângulos AFP e APQ têm bases iguais e a mesma altura, que denotamos por h na figura II. Denotemos agora por a a área do triângulo APQ; temos então

a = \text{área}(APQ) = \frac{1}{2} PQ \times h = \frac{1}{2} FP \times h = \text{área}(AFP).

Isso mostra que na figura III o hexágono está dividido em 18 triângulos de área a; segue que 18a = 45, donde a = \frac{45}{18} = 2{,}5\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

Pela figura, A e B estão no topo, C à direita, D e E na base e F à esquerda. As diagonais traçadas são AC, CE, EA (hexágono em estrela) e FB, BD, DF. O triângulo sombreado tem vértice em A e é limitado por AE (lado vertical esquerdo), AC e FB.

Use coordenadas com lado 1 e centro O na origem: A(−1/2, √3/2), B(1/2, √3/2), C(1, 0), D(1/2, −√3/2), E(−1/2, −√3/2), F(−1, 0).

A reta AE é x=-1/2.
A reta FB tem inclinação \frac{\sqrt3/2}{3/2}=\frac{\sqrt3}{3}, logo y=\frac{\sqrt3}{3}(x+1). Em x=-1/2: y=\frac{\sqrt3}{6}. Chame esse ponto P.
A reta AC tem inclinação \frac{-\sqrt3/2}{3/2}=-\frac{\sqrt3}{3}. Cruzando com FB: -(x-1)=x+1, então x=0 e y=\frac{\sqrt3}{3}. Chame esse ponto Q.

O triângulo sombreado é APQ. Base vertical AP=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{3}, e a altura horizontal até Q é \frac12.

\text{Área}=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac12=\frac{\sqrt3}{12}

A área do hexágono de lado 1 é \frac{3\sqrt3}{2}. A razão é

\frac{\sqrt3/12}{3\sqrt3/2}=\frac{1}{18}

Portanto a área pedida é \frac{45}{18}=2{,}5\ \text{cm}^2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa uma fração menor que 1/18 da área do hexágono, o que não corresponde à razão calculada.
CCorresponde a 1/15 do hexágono, razão sem base na figura.
DCorresponde a cerca de 1/13 do hexágono, resultado de uma razão errada.
ECorresponde a cerca de 1/11 do hexágono, resultado de um erro na proporção.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗