Questão 3 (Nível 1) da OBMEP 2007

Question

Carlos pode ir de sua casa à escola andando três quilômetros para o norte, dois para o oeste, um para o sul, quatro para o leste e finalmente dois para o sul. Para ir de casa à escola em linha reta, Carlos deve andar:

Ilustração com uma rosa dos ventos indicando Norte (N), Sul (S), Leste (L) e Oeste (O), e um menino com mochila correndo.

A
2 km para o leste.
B
1 km para o sul.
C
5 km para o leste.
D
3 km para o oeste.
E
4 km para o norte.

Answer 1

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Questão 3 (Nível 1) da OBMEP 2007

Nível 1 · Matemática: Transformações geométricas e localização

Carlos pode ir de sua casa à escola andando três quilômetros para o norte, dois para o oeste, um para o sul, quatro para o leste e finalmente dois para o sul. Para ir de casa à escola em linha reta, Carlos deve andar:

Ilustração com uma rosa dos ventos indicando Norte (N), Sul (S), Leste (L) e Oeste (O), e um menino com mochila correndo.

A
2 km para o leste.
B
1 km para o sul.
C
5 km para o leste.
D
3 km para o oeste.
E
4 km para o norte.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

No diagrama ao lado cada quadradinho tem 1 km de lado e o ponto C indica a casa de Carlos. Representando o trajeto descrito no enunciado pelas flechas em traço fino, vemos que a escola de Carlos está localizada no ponto E. Desse modo a flecha CE, mais grossa, representa o caminho que o Carlos tem que fazer para ir à escola em linha reta. Logo a escola fica 2 km a leste da casa de Carlos.

[Figura: À esquerda, uma rosa dos ventos indicando as direções N, S, L e O. À direita, uma malha quadriculada onde o ponto C indica a casa de Carlos. Setas finas mostram o trajeto percorrido a partir de C em direção ao norte, oeste, sul e leste, terminando no ponto E. Uma seta mais grossa aponta diretamente do ponto C para o ponto E, dois quadrados à direita.]

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Resolução comentada

Vamos colocar a casa na origem de um plano cartesiano: o eixo horizontal vai de oeste (−) para leste (+) e o eixo vertical vai de sul (−) para norte (+). Cada trecho do caminho muda uma das coordenadas.

3 km para o norte: vertical +3.
2 km para o oeste: horizontal -2.
1 km para o sul: vertical -1.
4 km para o leste: horizontal +4.
2 km para o sul: vertical -2.

Somando os deslocamentos de cada eixo:

\text{horizontal: } -2+4=+2 \text{ (2 km para o leste)}

\text{vertical: } +3-1-2=0

Como o deslocamento vertical total é zero, a escola está na mesma linha norte-sul da casa, e a diferença está só no sentido leste-oeste. Em linha reta, Carlos anda 2 km para o leste.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bconsidera só o trecho de 1 km para o sul, ignorando os outros e o cancelamento no eixo vertical.
Csoma 2 + 4 leste/oeste sem considerar que o oeste cancela parte do leste, e dá 5 em vez de 2.
Dinverte o sentido e erra o valor, ignorando que o leste (4) supera o oeste (2).
Eignora os trechos para o sul, que cancelam os 3 km para o norte.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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