Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2007

Question

O gráfico mostra a relação entre o percentual de álcool misturado com gasolina e o rendimento do carro de Cristina, em quilômetros por litro. Cristina começou uma viagem com o tanque de 50 litros cheio de uma mistura com 30% de álcool. Depois de andar 300 km ela parou em um posto, onde completou o tanque com álcool puro, e continuou a viagem sem reabastecer até chegar a seu destino, com o tanque praticamente vazio. Aproximadamente quantos quilômetros ela percorreu em toda a viagem?

Gráfico de barras relacionando o "percentual de álcool" no eixo horizontal (valores: 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 e 100) com o "rendimento em km/l" no eixo vertical (valores: 10 a 15, em intervalos de 0,5). As alturas das barras indicam os seguintes rendimentos aproximados: para 30%, 15; para 40%, 14,75; para 50%, 14; para 60%, 13,5; para 70%, 12,75; para 80%, 11,75; para 90%, 11; para 100%, 10.

A
800
B
900
C
975
D
1050
E
1125

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

O gráfico mostra a relação entre o percentual de álcool misturado com gasolina e o rendimento do carro de Cristina, em quilômetros por litro. Cristina começou uma viagem com o tanque de 50 litros cheio de uma mistura com 30% de álcool. Depois de andar 300 km ela parou em um posto, onde completou o tanque com álcool puro, e continuou a viagem sem reabastecer até chegar a seu destino, com o tanque praticamente vazio. Aproximadamente quantos quilômetros ela percorreu em toda a viagem?

Gráfico de barras relacionando o "percentual de álcool" no eixo horizontal (valores: 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 e 100) com o "rendimento em km/l" no eixo vertical (valores: 10 a 15, em intervalos de 0,5). As alturas das barras indicam os seguintes rendimentos aproximados: para 30%, 15; para 40%, 14,75; para 50%, 14; para 60%, 13,5; para 70%, 12,75; para 80%, 11,75; para 90%, 11; para 100%, 10.

A
800
B
900
C
975
D
1050
E
1125

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O gráfico mostra que com uma mistura contendo 30% de álcool o carro de Cristina rende 15 km/l. Para a primeira etapa de 300 km, ela gastou então \frac{300}{15} = 20 litros de combustível, restando no tanque 50 - 20 = 30 litros com 30% de álcool. Desses 30 litros 30%, ou seja, \frac{30}{100} \times 30 = 9 litros eram de álcool e os restantes 30 - 9 = 21 litros, de gasolina.

Para completar o tanque ela colocou 20 litros de álcool; o tanque ficou então cheio com 9 + 20 = 29 litros de álcool e os mesmos 21 litros de gasolina. Nessa mistura o percentual de álcool era de \frac{29}{50} = \frac{58}{100} = 58\%, que é aproximadamente 60%. O gráfico mostra que com essa mistura o carro de Cristina rende aproximadamente 13,5 km/l. Como ela chegou a seu destino com o tanque praticamente vazio, ela percorreu aproximadamente 13{,}5 \times 50 = 675 km. Logo, a viagem de Cristina foi de aproximadamente 300 + 675 = 975 km.

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Resolução comentada

Primeiro, o rendimento com 30% de álcool é 15\ \text{km/l} (barra do gráfico).

Gasto na primeira parte: 300 \div 15 = 20 litros.
Sobraram 50 - 20 = 30 litros no tanque. Nessa mistura de 50 L, o álcool era 30\% \cdot 50 = 15 L, então restaram 30\% \cdot 30 = 9 L de álcool e 21 L de gasolina.
Ao completar com 20 L de álcool puro, o tanque fica com 9 + 20 = 29 L de álcool em 50 L.
Percentual de álcool: \dfrac{29}{50} = 58\%. Esse valor fica entre 50% e 60%; pela leitura do gráfico, o rendimento é aproximadamente 13{,}5\ \text{km/l} (próximo da barra de 60%).
Na segunda parte ela usa os 50 litros praticamente todos: 50 \cdot 13{,}5 = 675 km.
Total: 300 + 675 = 975 km.

Como o enunciado pede um valor aproximado, a alternativa que mais se aproxima é 975.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa rendimento menor que o do gráfico para a mistura de cerca de 58% (ou erra a quantidade de combustível na segunda etapa).
BSupõe rendimento de 12 km/l na segunda etapa, valor que não corresponde a uma mistura de cerca de 58% de álcool.
DUsa rendimento de 15 km/l também na segunda etapa, ignorando que mais álcool reduz o rendimento (ou 14 km/l).
EConsidera o rendimento de 15 km/l durante toda a viagem de 50 litros mais os 300 km, ignorando a mudança da mistura.

Assuntos: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Leitura e interpretação de gráficos.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗