Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2007

Question

O contrário de um número de dois algarismos, ambos diferentes de zero, é o número obtido trocando-se a ordem de seus algarismos. Por exemplo, o contrário de 25 é 52 e contrário de 79 é 97. Qual dos números abaixo não é a soma de um número de dois algarismos com seu contrário?

A
44
B
99
C
121
D
165
E
181

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

O contrário de um número de dois algarismos, ambos diferentes de zero, é o número obtido trocando-se a ordem de seus algarismos. Por exemplo, o contrário de 25 é 52 e contrário de 79 é 97. Qual dos números abaixo não é a soma de um número de dois algarismos com seu contrário?

A
44
B
99
C
121
D
165
E
181

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Seja n um número de dois algarismos, sendo a seu algarismo das dezenas e b o das unidades; então n = 10a + b. Se a e b são ambos diferentes de zero, o contrário de n é 10b + a. Desse modo, a soma de n e de seu contrário é.

(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)

e portanto a soma de um número com seu contrário é sempre um múltiplo de 11. Basta agora notar que todas as opções são múltiplos de 11, com a exceção de 181.

As outras opções são todas somas de um número com seu contrário; de fato, 44 = 13 + 31, 99 = 18 + 81, 121 = 29 + 92 e 165 = 69 + 96.

Como foram achadas essas expressões? Tomemos, como exemplo, 165 = 11 \times 15. O raciocínio inicial mostra que se escolhermos algarismos não nulos a e b de modo que sua soma seja 15, então 165 será a soma do número 10a + b e de seu contrário. Por exemplo, podemos tomar a = 6 e b = 9; para essa escolha obtemos a expressão 165 = 69 + 96. Outras escolhas são possíveis; por exemplo, a = 8 e b = 7 leva a 165 = 87 + 78. O mesmo raciocínio serve para as outras alternativas.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Seja o número 10a+b, com a e b algarismos de 1 a 9. O contrário é 10b+a. A soma é:

(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)

Logo, a soma é sempre múltiplo de 11, e o fator a+b vai de 2 (1+1) até 18 (9+9).

Agora é só testar cada alternativa:

44=11\cdot 4, então a+b=4 (ex.: 13 + 31). Serve.
99=11\cdot 9, então a+b=9 (ex.: 18 + 81). Serve.
121=11\cdot 11, então a+b=11 (ex.: 29 + 92). Serve.
165=11\cdot 15, então a+b=15 (ex.: 69 + 96). Serve.
181: 181\div 11 não é inteiro, pois 11\cdot 16=176 e 11\cdot 17=187. Logo 181 não é múltiplo de 11 e não pode ser essa soma.

Portanto, o único número que não pode ser soma de um número com seu contrário é 181.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

A44 = 11·4, obtido com a+b = 4, por exemplo 13 + 31.
B99 = 11·9, obtido com a+b = 9, por exemplo 18 + 81.
C121 = 11·11, obtido com a+b = 11, por exemplo 29 + 92.
D165 = 11·15, obtido com a+b = 15, por exemplo 69 + 96.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Sistemas de numeração.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗