Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2007

Resolução comentada

Precisamos comparar potências de 5. Para isso, escrevemos 50 = 2\cdot 5^2, então:

1. 50^3 = 2^3\cdot 5^6 = 8\cdot 5^6
2. 50^4 = 2^4\cdot 5^8 = 16\cdot 5^8

A condição fica 8\cdot 5^6 < 5^p < 16\cdot 5^8.

Lado esquerdo: 5^7 = 5\cdot 5^6 e 5\cdot 5^6 < 8\cdot 5^6, então 5^7 não serve. Já 5^8 = 25\cdot 5^6 > 8\cdot 5^6, então p=8 serve. Logo p \geq 8.

Lado direito: 5^8 < 16\cdot 5^8, então p=8 serve. Para p=9: 5^9 = 5\cdot 5^8 < 16\cdot 5^8, serve. Para p=10: 5^{10} = 25\cdot 5^8 > 16\cdot 5^8, não serve. Logo p \leq 9.

Os valores possíveis são p = 8 e p = 9, ou seja, 2 números.

Alternativa B.

Pegadinha: Trocar 50^3 por 5^6 e 50^4 por 5^8 (esquecendo o fator 2) leva a achar só p=7, mas o fator 2^3 e 2^4 muda os extremos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta apenas um dos valores (8 ou 9) e esquece o outro.
• CInclui p=7 ou p=10, ignorando os fatores 8 e 16 ao comparar com 5^6 e 5^8.
• DInclui p=7 e p=10, tratando 50^3=5^6 e 50^4=5^8 sem o fator 2.
• EConta valores demais, sem comparar corretamente as potências.

Assunto: Potenciação e radiciação.

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