Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2007

Resolução comentada

Esta é uma questão clássica do Tangram. Em vez de calcular o buraco diretamente, use a área: as sete peças juntas somam 40\ \text{cm}^2. A figura II é formada por essas sete peças mais o buraco, então a área do buraco é a área de toda a figura II menos 40.

Para calcular a área da figura II, olhe a posição das peças. O buraco tem a forma de um retângulo com um triângulo retirado no topo. Esse retângulo é limitado em cima, à esquerda e à direita pelas peças, e embaixo pelos dois triângulos grandes.

Da figura I, o quadrado de 40 tem diagonal d com d^2/2=40, logo d^2=80. Cada triângulo grande tem catetos iguais ao lado do quadrado e hipotenusa d. Sua área é 10, ou seja, \frac14 do quadrado. Seus catetos medem \ell, com \ell^2=20.

Na figura II, o retângulo que contém o buraco tem base igual à hipotenusa de um triângulo grande, \ell\sqrt2, e altura igual ao cateto do triângulo médio, que mede \ell/\sqrt2.

1. Base: \ell\sqrt2 e altura \ell/\sqrt2.
2. Área do retângulo: \ell\sqrt2\cdot \ell/\sqrt2=\ell^2=20.
3. O buraco é esse retângulo sem o triângulo do topo. Esse triângulo tem base \ell/\sqrt2\cdot (metade da base) e altura correspondente, e sua área é \frac14\cdot 20=5.
4. Área do buraco: 20-5=15.

Conferindo: o retângulo de 20 ficaria preenchido pelo buraco (15) mais o triângulo (5). O resultado é coerente.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ADá só a área do triângulo recortado no topo do retângulo, não a do buraco.
• BConfunde com a área de um triângulo grande do Tangram, que vale 10\ \text{cm}^2.
• DDá a área do retângulo inteiro, esquecendo de descontar o triângulo do topo.
• ESoma o triângulo ao retângulo em vez de subtraí-lo.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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