Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2007

Resolução comentada

Num decágono regular, os 10 vértices dividem a circunferência circunscrita em 10 arcos iguais, cada um de \dfrac{360^\circ}{10}=36^\circ.

A diagonal liga o vértice superior esquerdo a um vértice do lado direito, deixando 4 lados do polígono acima dela. Então o arco menor determinado por ela tem 4 arcos de 36^\circ:

O ângulo central correspondente (em O) mede 144^\circ. O triângulo formado por O e os dois extremos da diagonal é isósceles, pois dois lados são raios. Logo os dois ângulos da base são iguais, e o ângulo a é um deles:

1. Soma dos ângulos da base: 180^\circ-144^\circ=36^\circ.
2. Cada ângulo da base: a=\dfrac{36^\circ}{2}=18^\circ.

Conferindo pelo ângulo inscrito: a é o ângulo entre o raio e a corda, e o ângulo entre o raio e a corda vale 90^\circ menos o ângulo inscrito que enxerga o arco de 144^\circ, isto é, 90^\circ-72^\circ=18^\circ. Confere.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem confunde 36^\circ (ângulo central de um lado, ou a soma dos ângulos da base) com o ângulo a, que é metade dessa soma.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde a nenhuma divisão correta do ângulo central; o valor não sai do triângulo isósceles.
• CValor sem relação com os arcos de 36^\circ do decágono.
• DSeria o resultado se o arco fosse de 120^\circ, o que não ocorre com 4 lados.
• EÉ o ângulo central de um único lado, não o ângulo a da base do triângulo isósceles.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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