Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2007

Resolução comentada

Em cada uma das 6 noites, 2 amigos vigiam, então há 6 \times 2 = 12 "vagas de guarda" no total.

Cada amigo ocupa exatamente 3 dessas vagas. Se n é o número de amigos, então:

Verificação: com 4 amigos, o número de duplas possíveis é \frac{4 \times 3}{2} = 6. Como são 6 noites e ninguém repete a companhia, cada dupla vigia exatamente uma vez. Chamando os amigos de A, B, C e D, as duplas são AB, AC, AD, BC, BD, CD. Cada amigo aparece em 3 duplas (A em AB, AC, AD, e assim por diante), o que confere com o enunciado.

Portanto, eram 4 amigos.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACom 3 amigos só há 3 duplas diferentes, e cada um vigiaria apenas 2 vezes sem repetir companhia.
• CConfunde o número de noites com o de amigos; 6 amigos dariam 6\times3/2=9 vagas por pessoa a menos, ou seja, apenas 3 noites.
• DUsa o total de vagas de guarda (12) como número de amigos, esquecendo de dividir por 3.
• EMultiplica 6\times 3 sem considerar que cada noite tem duas pessoas, contando as vagas em dobro.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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