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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2007

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Nanci tem seis quadrados de cartolina iguais, como na figura I. Com esses cartões ela montou a figura II. Qual é a área dessa figura?

A imagem contém duas figuras identificadas como Figura I e Figura II. A Figura I mostra um quadrado cinza de lado medindo 10 cm, com suas duas diagonais traçadas, que se cruzam no centro. A Figura II mostra uma composição em formato de escada na diagonal, formada pela sobreposição de seis quadrados iguais ao da Figura I. As diagonais principais de todos os seis quadrados estão alinhadas em uma única reta contínua, de modo que o vértice superior esquerdo de cada quadrado a partir do segundo coincide exatamente com o centro (interseção das diagonais) do quadrado imediatamente anterior.

  1. A
    450\ \text{cm}^2
  2. B
    475\ \text{cm}^2
  3. C
    525\ \text{cm}^2
  4. D
    540\ \text{cm}^2
  5. E
    600\ \text{cm}^2
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Cada quadrado tem lado 10 cm, então sua área é 10\times 10 = 100\ \text{cm}^2.

As diagonais cruzam-se no centro e dividem o quadrado em 4 triângulos iguais. Cada triângulo vale 100\div 4 = 25\ \text{cm}^2.

Na figura II, o vértice de cada quadrado (a partir do segundo) coincide com o centro do quadrado anterior. Assim, a parte sobreposta é o quadradinho de lado 5 cm, de área 5\times 5 = 25\ \text{cm}^2. Isso equivale a um quarto do quadrado, ou seja, a um dos 4 triângulos... na verdade, o canto do quadrado anterior que vai do centro até o vértice é um quadrado de lado 5 cm, que tem área 25\ \text{cm}^2 (um quarto de 100).

Portanto, há 5 sobreposições entre os 6 quadrados:

  1. Área total sem sobreposição: 6\times 100 = 600\ \text{cm}^2.
  2. Área sobreposta: 5\times 25 = 125\ \text{cm}^2.
  3. Área da figura: 600 - 125 = 475\ \text{cm}^2.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem soma os seis quadrados sem descontar as sobreposições; a A engana quem desconta 6 sobreposições em vez de 5.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADesconta 150 cm² (6 sobreposições de 25), mas há apenas 5 sobreposições entre 6 quadrados.
  • CDesconta só 75 cm², como se houvesse 3 sobreposições de 25 cm².
  • DDesconta apenas 60 cm², valor sem relação com as sobreposições reais.
  • ESoma as áreas dos seis quadrados e ignora as sobreposições.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: OBMEP 2007 · Nível 1. Prova oficial ↗