Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2006

Resolução comentada

Primeiro, conte os comprimidos: o verde tem 5\times 12=60 comprimidos e o azul tem 5\times 13=65 comprimidos.

Bento toma o verde a cada 6 h e o azul a cada 5 h, começando juntos no instante 0 (6 h do dia 22). Os dois coincidem quando o tempo é múltiplo comum de 6 e 5, ou seja, de \text{mmc}(6,5)=30 h.

1. Verde: o 1º comprimido é em t=0 e o 60º em t=59\times 6=354 h. O tratamento verde vai de 0 a 354 h.
2. Azul: o 65º comprimido é em t=64\times 5=320 h. O tratamento azul vai de 0 a 320 h.
3. Coincidências: ocorrem nos instantes 0, 30, 60,\dots até 320 h (o azul acaba aí, e depois só há verde). O maior múltiplo de 30 que é \le 320 é 300. Logo são 300/30+1=11 coincidências.

Em cada coincidência, os dois comprimidos são tomados com 1 copo de leite: 11 copos de leite.

Copos de água: só os comprimidos tomados sozinhos usam água. Em cada coincidência, 2 comprimidos gastam 1 copo de leite e nenhum de água. Então os comprimidos tomados com água são (60-11)+(65-11)=49+54=103.

Portanto, 103 copos de água e 11 de leite.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem desconta as coincidências de apenas um dos remédios, esquecendo que em cada coincidência os dois comprimidos saem da conta da água.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASó conta os comprimidos de cada caixa (60 e 65), ignorando as coincidências.
• BErra a contagem das coincidências (14) e usa valores sem coerência com os 125 comprimidos.
• DSubtrai as 11 coincidências só do azul (65−11=54) e não do verde, obtendo 60+54=114.
• EIgnora que nas coincidências se toma leite, não água.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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