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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Progressão geométrica

No início de janeiro de 2006, Tina formou com colegas um grupo para resolver problemas de Matemática. Eles estudaram muito e por isso, a cada mês, conseguiam resolver o dobro do número de problemas resolvidos no mês anterior. No fim de junho de 2006 o grupo havia resolvido um total de 1134 problemas. Quantos problemas o grupo resolveu em janeiro?

Ilustração de quatro jovens reunidos ao redor de uma mesa estudando matemática com um balão de fala contendo símbolos matemáticos, enquanto outro garoto se aproxima correndo.

  1. A
    12
  2. B
    18
  3. C
    20
  4. D
    24
  5. E
    36
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Resolução comentada

Resolução comentada

Se em cada mês o grupo resolve o dobro do mês anterior, os números de problemas formam uma progressão geométrica de razão 2. De janeiro a junho são 6 meses.

Chamando de x o número de problemas resolvidos em janeiro:

  1. Janeiro: x
  2. Fevereiro: 2x
  3. Março: 4x
  4. Abril: 8x
  5. Maio: 16x
  6. Junho: 32x

O total do semestre é a soma:

x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x = 63x

Como o total foi 1134 problemas:

63x = 1134 \Rightarrow x = \frac{1134}{63} = 18

Conferindo: 63 \times 18 = 1134 (pois 63\times 18 = 630 + 504). Portanto, em janeiro o grupo resolveu 18 problemas.

Outra forma: a soma de uma PG é x\cdot\frac{2^6-1}{2-1} = 63x, o mesmo resultado.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom 12 problemas em janeiro o total seria 63\times12=756, não 1134.
  • CCom 20 o total seria 63\times20=1260, acima de 1134.
  • DCom 24 o total seria 63\times24=1512, bem acima do valor dado.
  • ECom 36 o total seria 63\times36=2268, o dobro do valor correto.

Assunto: Progressão geométrica.

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Ver como caiu na prova Questão 7 no caderno Nível 2 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗