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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Mônica quer dividir o mostrador de um relógio em três partes com 4 números cada uma usando duas retas paralelas. Ela quer também que a soma dos quatro números em cada parte seja a mesma. Quais os números que vão aparecer em uma das partes quando Mônica conseguir o que ela quer?

Ilustração com a personagem Mônica em dúvida entre dois mostradores de relógio divididos por duas retas paralelas, com a legenda "Tentativas mal sucedidas de Mônica"

  1. A
    1, 6, 7, 12
  2. B
    3, 4, 9, 10
  3. C
    12, 2, 5, 7
  4. D
    4, 5, 8, 9
  5. E
    1, 7, 8, 10
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Resolução comentada

A soma de 1 a 12 é \frac{12\cdot 13}{2}=78. Como as três partes têm a mesma soma, cada uma soma 78\div 3=26.

Duas retas paralelas dividem o relógio em duas partes extremas (cada uma com números vizinhos, em sequência no mostrador) e uma parte central. As partes extremas são formadas por 4 números consecutivos do mostrador, pois cada uma é cortada por uma única reta.

Procuramos 4 números consecutivos (no círculo) que somem 26. Se o primeiro é n, a soma é n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=26, logo n=5: os números são 5, 6, 7, 8, mas isso soma 26 apenas se for 5+6+7+8=26. Confere.

Porém 5, 6, 7, 8 não aparece nas alternativas, então a parte pedida é outra. Pela simetria, a outra parte extrema também tem 4 consecutivos somando 26. Passando pelo 12: 11+12+1+2=26. Confere. Sobram 3, 4, 9, 10 para a parte central, com soma 3+4+9+10=26. Confere.

As partes são: {5, 6, 7, 8}, {11, 12, 1, 2} e {3, 4, 9, 10}. Dessas, só a parte central aparece nas alternativas. Ela é separada pelas duas retas, uma deixando 5–8 de um lado e outra deixando 11–2 do outro, e ambas paralelas.

Alternativa B.

Pegadinha: Várias alternativas somam 26, então só a soma não basta: é preciso checar se os números formam uma parte possível com duas retas paralelas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A1+6+7+12=26, mas esses números não formam uma parte possível com retas paralelas.
  • C12+2+5+7=26, mas não são números vizinhos nem formam uma parte cortada por retas paralelas.
  • D4+5+8+9=26, mas deixaria o 6 e o 7 de fora do meio; não é uma parte possível.
  • E1+7+8+10=26, mas os números estão espalhados e não formam uma parte possível.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Ver como caiu na prova Questão 6 no caderno Nível 2 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗