Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2006

Question

Dois casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os quatro podem sentar-se no banco, de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada?

Ilustração em desenho de dois casais de namorados sentados lado a lado em um banco de praça de ripas de madeira

A
1
B
2
C
3
D
4
E
8

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 1) da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Permutações

Dois casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os quatro podem sentar-se no banco, de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada?

Ilustração em desenho de dois casais de namorados sentados lado a lado em um banco de praça de ripas de madeira

A
1
B
2
C
3
D
4
E
8

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Os casais 1 e 2 podem se sentar de duas maneiras distintas:

\underbrace{\text{casal } 1}_{\text{esquerda}}\ \underbrace{\text{casal } 2}_{\text{direita}} \quad\text{ou}\quad \underbrace{\text{casal } 2}_{\text{esquerda}}\ \underbrace{\text{casal } 1}_{\text{direita}}

No primeiro caso, as quatro pessoas podem se sentar em 4 ordens:

\underbrace{\text{casal } 1}_{\text{esquerda}}\ \underbrace{\text{casal } 2}_{\text{direita}} \begin{cases} \underbrace{\text{homem } 1\text{, mulher } 1}_{\text{casal } 1}\text{, } \underbrace{\text{homem } 2\text{, mulher } 2}_{\text{casal } 1} \\[10pt] \underbrace{\text{homem } 1\text{, mulher } 1}_{\text{casal } 1}\text{, } \underbrace{\text{mulher } 2\text{, homem } 2}_{\text{casal } 1} \\[10pt] \underbrace{\text{mulher } 1\text{, homem } 1}_{\text{casal } 1}\text{, } \underbrace{\text{homem } 2\text{, mulher } 2}_{\text{casal } 1} \\[10pt] \underbrace{\text{mulher } 1\text{, homem } 1}_{\text{casal } 1}\text{, } \underbrace{\text{mulher } 2\text{, homem } 2}_{\text{casal } 1} \end{cases}

No segundo caso, obtemos da mesma maneira outras 4 ordens. Logo os casais podem se sentar no banco de 4 + 4 = 8 maneiras distintas.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada casal precisa ficar junto, então trate cada casal como um bloco.

Há 2 blocos (casal 1 e casal 2). Eles podem ser ordenados no banco de 2! = 2 maneiras: casal 1 à esquerda ou casal 2 à esquerda.
Dentro de cada bloco, o namorado e a namorada podem trocar de lugar: 2 maneiras para o primeiro casal e 2 para o segundo.
Pelo princípio multiplicativo:

2 \times 2 \times 2 = 8

Conferindo com nomes: sejam os casais A a e B b. Com Aa à esquerda: Aabb... na verdade, AaBb, AabB, aABb, aAbB. Com Bb à esquerda, outras 4 ordens. Total: 8.

O cuidado é lembrar que, além da ordem dos casais, a ordem dentro de cada casal também muda a disposição dos quatro no banco.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece de permutar os dois casais entre si; B engana quem esquece de trocar as posições dentro de cada casal.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera uma única disposição, ignorando as trocas de lugar.
BConta só a ordem dos dois casais, esquecendo a troca dentro de cada casal.
CNão corresponde a nenhuma contagem correta do problema.
DConta só as trocas dentro dos casais (2\times2), esquecendo a ordem entre os casais.

Assunto: Permutações.

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Questão 7 no caderno Nível 1 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗