Questão 3 (Nível 1) da OBMEP 2006

Question

Os quadrados abaixo têm todos o mesmo tamanho.

Em qual deles a região sombreada tem a maior área?

A
I
B
II
C
III
D
IV
E
V

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Os quadrados abaixo têm todos o mesmo tamanho.

Em qual deles a região sombreada tem a maior área?

A
I
B
II
C
III
D
IV
E
V

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Na opção I o quadrado está dividido em quatro triângulos iguais, de modo que a área da região sombreada é a metade da área do quadrado. Na opção II, a diagonal divide o quadrado em dois triângulos iguais, e outra vez a área da região sombreada é metade da área do quadrado. Na opção III o triângulo sombreado tem área menor do que o triângulo sombreado da opção II, ou seja, menor que metade da área do quadrado. Na opção IV, observamos na figura ao lado que a perpendicular MN ao segmento AB divide o quadrado nos pares de triângulos iguais AMN, ADN e BMN, BCN; segue mais uma vez que a área da região sombreada é metade da área do quadrado. Finalmente, a área do triângulo sombreado na opção V é maior do que a área do triângulo sombreado da opção II, ou seja, é maior do que metade da área do quadrado.

[Figura: Quadrado ABCD com um ponto N no lado CD e um ponto M no lado AB, unidos por um segmento perpendicular MN. Os segmentos AN e BN formam o triângulo sombreado ABN, composto pelos triângulos AMN e BMN.]

Comentário: observamos que na opção IV o ponto N não precisa ser o ponto médio do lado CD. De fato, o argumento usado acima para analisar essa opção não depende da posição de N ao longo de CD.

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Resolução comentada

Vamos chamar o lado de cada quadrado de \ell, de modo que a área total é \ell^2. Depois calculamos a fração sombreada em cada figura.

I: as diagonais dividem o quadrado em 4 triângulos de áreas iguais. Dois estão sombreados, então a área é \frac{2}{4}\ell^2=\frac{1}{2}\ell^2.
II: a diagonal divide o quadrado em duas metades iguais, então a área é \frac{1}{2}\ell^2.
III: o triângulo tem base \ell e altura menor que \ell, pois o ponto fica abaixo do vértice. Sua área é menor que \frac{\ell\cdot\ell}{2}, ou seja, menor que \frac{1}{2}\ell^2.
IV: o triângulo tem base \ell e altura \ell, então a área é \frac{\ell\cdot\ell}{2}=\frac{1}{2}\ell^2.
V: a região sombreada é o quadrado menos o triângulo de cima. Esse triângulo tem base \ell (lado superior) e altura menor que \ell, pois o ponto no lado direito está acima do vértice inferior. Sua área é menor que \frac{1}{2}\ell^2, então o trapézio sombreado tem área maior que \frac{1}{2}\ell^2.

Assim, I, II e IV valem exatamente metade do quadrado, III vale menos que a metade e V vale mais que a metade. A maior área é a da figura V.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA área sombreada é exatamente metade do quadrado, menor que a de V.
BO triângulo da diagonal ocupa exatamente metade do quadrado, menos que V.
CO triângulo tem altura menor que o lado, então sua área é menor que a metade.
DBase \ell e altura \ell dão metade do quadrado, menos que V.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 3 no caderno Nível 1 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗