Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2006

Question

Cada uma das 5 xícaras da figura está cheia só com café, só com leite ou só com suco. No total, a quantidade de café é o dobro da de suco. Nenhuma das bebidas está em mais de 2 xícaras diferentes. Quais as xícaras que contêm leite?

Cinco xícaras com pires em ordem decrescente de tamanho, identificadas por algarismos romanos de I a V, com as respectivas capacidades abaixo: xícara I com 950 ml, xícara II com 750 ml, xícara III com 550 ml, xícara IV com 475 ml e xícara V com 325 ml.

A
apenas a xícara I
B
as xícaras III e IV
C
as xícaras II e V
D
as xícaras III e V
E
as xícaras IV e V

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Cada uma das 5 xícaras da figura está cheia só com café, só com leite ou só com suco. No total, a quantidade de café é o dobro da de suco. Nenhuma das bebidas está em mais de 2 xícaras diferentes. Quais as xícaras que contêm leite?

Cinco xícaras com pires em ordem decrescente de tamanho, identificadas por algarismos romanos de I a V, com as respectivas capacidades abaixo: xícara I com 950 ml, xícara II com 750 ml, xícara III com 550 ml, xícara IV com 475 ml e xícara V com 325 ml.

A
apenas a xícara I
B
as xícaras III e IV
C
as xícaras II e V
D
as xícaras III e V
E
as xícaras IV e V

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como 950 + 550 = 1500 = 2 \times 750, uma solução é café na xícara I, suco na II, café na III, leite na IV e na V. Nessa solução temos apenas uma xícara com suco.

Será que existe outra solução com suco em duas xícaras? Se sim, teríamos duas possibilidades para a quantidade de suco:

i. 475 + 325 = 800\text{ ml} (suco nas duas xícaras menores) Nesse caso teríamos 1600 ml de café o que é impossível obter com 1 ou 2 xícaras dentre as I, II e III
ou
ii. maior do que 800 ml; nesse caso a quantidade de café seria maior que 800 \times 2 = 1600\text{ ml}, o que só pode ocorrer com café nas xícaras I e II, que somam 950 + 750 = 1700\text{ ml}. Neste caso a quantidade de suco seria 850 ml, o que não pode ocorrer com as demais xícaras.

Logo há suco em apenas uma xícara, donde a única solução possível é a dada acima.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada bebida está em 1 ou 2 xícaras (no máximo 2), e as três bebidas aparecem, então as 5 xícaras se dividem entre café, leite e suco. Como o café é o dobro do suco, o total de café + suco é 3 vezes o volume do suco, ou seja, um múltiplo de 3.

O total das 5 xícaras é:

950+750+550+475+325=3050\ \text{ml}

Se o leite é L, então 3050-L é divisível por 3. Os restos na divisão por 3 são: 950→2, 750→0, 550→1, 475→1, 325→1. O total deixa resto 2+0+1+1+1=5, ou seja, resto 2.

Portanto L deve deixar resto 2 na divisão por 3. Testando os pares de xícaras (o leite ocupa 1 ou 2 xícaras):

III e IV: 550+475=1025, resto 1+1=2 ✓.
II e V: 750+325=1075, resto 0+1=1 ✗.
III e V: 550+325=875, resto 2 ✓.
IV e V: 475+325=800, resto 2 ✓.
Apenas I: 950, resto 2 ✓.

Sobram vários candidatos, então verificamos a condição café = 2 × suco com a divisão real e o limite de 2 xícaras por bebida.

Leite só em I: restam 750, 550, 475, 325 (soma 2100), suco = 700. Nenhuma combinação dá 700 (325+475=800; 550+... não). ✗
Leite em III e V: restam 950, 750, 475 (soma 2175), suco = 725. Não há combinação. ✗
Leite em IV e V: restam 950, 750, 550 (soma 2250), suco = 750 = xícara II; café = 950+550 = 1500 = 2·750 ✓.
Leite em III e IV: restam 950, 750, 325 (soma 2025), suco = 675. Não há combinação. ✗

Leite em IV e V, suco na II e café em I e III.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom leite só na xícara I, o suco teria de ser 700 ml, impossível com as demais.
BCom leite em III e IV, o suco teria de ser 675 ml, impossível com 950, 750 e 325.
CLeite em II e V deixa café + suco com soma 1925+... não múltipla de 3 (3050−1075=1975), logo não existe suco.
DCom leite em III e V, o suco teria de ser 725 ml, impossível com 950, 750 e 475.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Razão e proporção.

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Questão 20 no caderno Nível 1 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗