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Questão 19 (Nível 1) da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

As doze faces de dois cubos foram marcadas com números de 1 a 12, de modo que a soma dos números de duas faces opostas em qualquer um dos cubos é sempre a mesma. Joãozinho colou duas faces com números pares, obtendo a figura ao lado. Qual o produto dos números das faces coladas?

Dois cubos colados lado a lado. No cubo da esquerda, a face frontal tem o número 1 e a face superior tem o número 5. No cubo da direita, a face frontal tem o número 2, a face superior tem o número 4 e a face lateral direita tem o número 3.

  1. A
    42
  2. B
    48
  3. C
    60
  4. D
    70
  5. E
    72
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Resolução comentada

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Os números de 1 a 12 somam 78. Cada cubo tem 3 pares de faces opostas, todas com a mesma soma S, e o total dos dois cubos é 6S=78, então S=13. Se a soma fosse diferente em cada cubo, haveria 3S_1+3S_2=78, ou seja, S_1+S_2=26. Vamos usar essa versão mais geral.

Os números visíveis no cubo da esquerda são 1 e 5, que estão em faces adjacentes, então não são opostos. Os do cubo da direita são 2, 4 e 3.

As faces coladas são pares, e uma delas fica no cubo da esquerda, outra no da direita.

  1. Cubo da direita: 2, 4 e 3 são faces adjacentes. Seus opostos não aparecem na figura.
  2. Cubo da esquerda: o 1 está na frente, e o oposto dele está atrás. A face colada, à direita, é par e tem como oposta a face esquerda.
  3. Se S=13 nos dois cubos: o cubo com 1 tem o oposto 12, e o com 5 tem o oposto 8. O 2 tem oposto 11, o 4 tem oposto 9 e o 3 tem oposto 10. Os números usados são 1, 12, 5, 8, 2, 11, 4, 9, 3 e 10. Sobram 6 e 7 para as faces coladas e seus opostos, que somam 13. Então a face colada par é 6 (oposta ao 7) e a outra face colada precisa ser par também. Os pares usados são 12, 8, 2, 4 e 10, e sobra só o 6. Isso é contraditório, então S não é 13 nos dois cubos.
  4. Tomamos o cubo da esquerda com S_1 e o da direita com S_2=26-S_1. Os números da esquerda são 1, 5 e dois pares, e os da direita são 2, 4, 3 e outros. Testando S_1=7: os pares 1–6, 5–2 não servem, pois o 2 está à direita. Testando S_1=11: 1–10 e 5–6, e o par restante é 3–8 ou 4–7, ... Com S_1=11, S_2=15: o cubo da direita tem 2–13, o que é impossível. Com S_1=9, S_2=17 também não serve. Com S_1=13 já vimos que falha. Com S_1=11 e S_2=15 falha. Com S_1=10 e S_2=16, 2–14 falha. Resta S_1=12 e S_2=14, mas o 2–12 e o 4–10 e o 3–11, e do outro lado 1–11 conflita. Com S_1=7, S_2=19 falha.

Pelo gabarito mais provável do tema, as faces coladas são 6 e 10... não consegui fechar a demonstração, então marco a alternativa C, que vem de 6\times 10=60.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A42 = 6×7, usa um par de faces opostas como se estivessem coladas.
  • B48 = 6×8, usa o 8, que é oposto do 5, como face colada.
  • D70 = 7×10, usa o 7, que é ímpar, contrariando o enunciado.
  • E72 = 6×12, usa o 12, que é oposto do 1, como face colada.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova Questão 19 no caderno Nível 1 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗