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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

No retângulo ABCD da figura, M e N são os pontos médios dos lados AD e BC. Qual é a razão entre a área da parte sombreada e a área do retângulo ABCD?

Retângulo ABCD com lados horizontais AD (superior) e BC (inferior). Os pontos médios M em AD e N em BC são conectados por um segmento vertical MN que contém o ponto central de interseção das diagonais AC e BD. Os segmentos AN e DN também estão traçados, dividindo o retângulo em vários triângulos menores, dos quais quatro regiões estão sombreadas em cinza.

  1. A
    \frac{1}{5}
  2. B
    \frac{1}{4}
  3. C
    \frac{1}{3}
  4. D
    \frac{1}{2}
  5. E
    \frac{2}{3}
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Resolução comentada

Resolução comentada

Pela figura, o retângulo tem A e D em cima, B e C embaixo, M no meio de AD e N no meio de BC. Desenhadas estão as diagonais AC e BD, o segmento MN e os segmentos AN e DN. Todas as diagonais e MN passam pelo centro O do retângulo.

Vamos usar a área total = 1 e a simetria em relação à reta MN.

  1. O retângulo MNCD (metade direita) tem área \frac{1}{2}. Nele, a parte sombreada é o triângulo MOD (acima da diagonal BD) mais o triângulo formado entre DN e AC perto de C, ou seja, a região DNC menos o triângulo central.

  2. Raciocinando pela metade direita: a diagonal BD e o segmento DN dividem o retângulo MNCD em partes. O triângulo MOD tem base MD=\frac{a}{2} e altura \frac{b}{2}, onde a=AD e b=AB. Sua área é \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{8}=\frac{1}{8}.

  3. A outra parte sombreada à direita é o triângulo entre D, C e a interseção de DN com AC. Pela figura, o sombreado de baixo à direita é o triângulo DNC menos o pedaço branco. A região NOC (abaixo de AC) tem área \frac{ab}{8}=\frac{1}{8}, e está sombreada junto com a parte de DNC acima de AC.

  4. Somando na metade direita: sombreado =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4} da área total. Isso é metade da metade direita, ou seja, metade de MNCD.

  5. A figura sombreada é simétrica em relação ao centro O (rotação de 180°): a parte sombreada da esquerda equivale à da direita. Assim, o total seria \frac{1}{4}+\frac{1}{4}.

Conferindo: metade direita sombreada =\frac{1}{4} do retângulo, que é metade da região, e a esquerda repete esse padrão, dando \frac{1}{2} da área total.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AFração pequena demais, não corresponde à soma das regiões sombreadas.
  • BConsidera só a parte sombreada de uma das metades, sem somar a outra metade.
  • CNão decorre de nenhuma divisão correta da figura em regiões de áreas iguais.
  • ESuperestima a área sombreada, que ocupa apenas metade do retângulo.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 1 no caderno Nível 2 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗