Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2006

Question

No triângulo ABC, o comprimento dos lados AB, BC e CA, nessa ordem, são números inteiros e consecutivos. A altura relativa a BC divide este lado em dois segmentos de comprimentos m e n, como indicado.

Triângulo ABC com vértice A no topo, B na base à esquerda e C na base à direita. Uma altura parte do vértice A até o lado BC, formando um ângulo reto. O lado BC é dividido pelo pé da altura em dois segmentos: o da esquerda, adjacente ao vértice B, tem comprimento n, e o da direita, adjacente ao vértice C, tem comprimento m.

Quanto vale m - n?

A
1
B
2
C
3
D
4
E
6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

No triângulo ABC, o comprimento dos lados AB, BC e CA, nessa ordem, são números inteiros e consecutivos. A altura relativa a BC divide este lado em dois segmentos de comprimentos m e n, como indicado.

Triângulo ABC com vértice A no topo, B na base à esquerda e C na base à direita. Uma altura parte do vértice A até o lado BC, formando um ângulo reto. O lado BC é dividido pelo pé da altura em dois segmentos: o da esquerda, adjacente ao vértice B, tem comprimento n, e o da direita, adjacente ao vértice C, tem comprimento m.

Quanto vale m - n?

A
1
B
2
C
3
D
4
E
6

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Colocando AB = x temos BC = x + 1 e AC = x + 2. Seja AH = h a altura relativa a BC. Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos ABH e AHC obtemos n^2 + h^2 = x^2 e (x + 2)^2 = m^2 + h^2. Segue que h^2 = x^2 - n^2 e h^2 = (x + 2)^2 - m^2, donde (x + 2)^2 - m^2 = x^2 - n^2, ou seja, (x + 2)^2 - x^2 = m^2 - n^2.

[Figura: Triângulo ABC com altura AH de medida h perpendicular à base BC no ponto H. O lado AB tem medida x e o lado AC tem medida x + 2. O segmento BH tem medida n indicada por uma seta dupla e o segmento HC tem medida m. Abaixo do segmento HC, há uma seta dupla indicando medida x + 1.]

Usando a identidade a^2 - b^2 = (a - b)(a - b) obtemos então

(x + 2 - x)(x + 2 + x) = (m - n)(m + n)

Como m + n = x + 1 segue que 2(2x + 2) = (m - n)(m + n), segue que, donde 4(x + 1) = (m - n)(x + 1). Como x + 1 \neq 0 podemos dividir ambos os membros desta última expressão por x + 1 e obtemos finalmente m - n = 4.

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Resolução comentada

Sejam AB = x, BC = x+1 e CA = x+2 (inteiros consecutivos, nessa ordem). A altura h de A forma dois triângulos retângulos, com BH = n e HC = m, e m + n = x+1.

Pelo teorema de Pitágoras nos dois triângulos, a altura h é a mesma:

Em ABH: h^2 = x^2 - n^2.
Em ACH: h^2 = (x+2)^2 - m^2.

Igualando:

x^2 - n^2 = (x+2)^2 - m^2 \Rightarrow m^2 - n^2 = (x+2)^2 - x^2 = 4x + 4.

Fatorando o lado esquerdo, m^2 - n^2 = (m-n)(m+n), e m + n = x + 1:

(m-n)(x+1) = 4(x+1).

Como x + 1 \neq 0, dividimos os dois lados por x+1:

m - n = 4.

O resultado não depende do valor de x.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde com a diferença entre lados consecutivos (1), sem usar Pitágoras.
BUsa a diferença entre os lados AB e CA (2) como se fosse m-n.
CNão corresponde a nenhum passo da conta; resultado sem base na igualdade das alturas.
EValor sem relação com (m-n)(x+1)=4(x+1), que dá 4.

Assunto: Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 19 no caderno Nível 3 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗