Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2006

Question

No dia de seu aniversário em 2006, o avô de Júlia disse a ela: “Eu nasci no ano x^2 e completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?”. A resposta certa é:

Avô de Júlia, sorridente, ao lado de um bolo de aniversário com uma vela em forma de ponto de interrogação, com balões ao fundo

A
61
B
64
C
67
D
70
E
72

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Equação do 2º grau

No dia de seu aniversário em 2006, o avô de Júlia disse a ela: “Eu nasci no ano x^2 e completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?”. A resposta certa é:

Avô de Júlia, sorridente, ao lado de um bolo de aniversário com uma vela em forma de ponto de interrogação, com balões ao fundo

A
61
B
64
C
67
D
70
E
72

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O que o avô de Júlia disse pode ser escrito como

\underbrace{\text{idade em } 1980}_{x} = 1980 - \underbrace{\text{ano de nascimento}}_{x^2}

ou seja, x = 1980 - x^2 . Logo x^2 + x - 1980 = 0 ; esta equação tem as raízes

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 1980}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{7921}}{2} = \frac{-1 \pm 89}{2}

Segue que, em 1980 o avô de Júlia tinha 44 anos e assim, em 2006, ele completa 44 + (2006 - 1980) = 44 + 26 = 70 anos.

Comentário: Um modo rápido de calcular \sqrt{7921} é notar que 90^2 = 8100 . Daí segue que \sqrt{7921} é um número próximo de e menor que 90 terminado em 1 ou 9. Os candidatos naturais são 81 e 89, e verifica-se imediatamente que 89^2 = 7921.

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Resolução comentada

Se ele nasceu no ano x^2 e completou x anos em 1980, então o ano de nascimento mais a idade dá 1980:

x^2 + x = 1980

Precisamos de dois números consecutivos, x e x+1, cujo produto seja 1980, já que x(x+1)=1980.

Estimativa: 44^2 = 1936 e 45^2 = 2025, então x está perto de 44.
Teste: 44 \cdot 45 = 1980. Funciona, logo x = 44.
Ano de nascimento: x^2 = 44^2 = 1936.
Em 1980 ele completou 1980 - 1936 = 44 anos, o que confere com x = 44.
Em 2006, no aniversário, a idade é 2006 - 1936 = 70 anos.

O outro valor de x na equação é negativo (x=-45), que não serve como idade. Além disso, x = 45 daria nascimento em 2025, impossível.

O avô completa 70 anos.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhum cálculo coerente; 2006 − 61 = 1945 não é quadrado perfeito.
BNascimento em 1942 não é um quadrado perfeito, então não satisfaz o enunciado.
CNascimento em 1939 não é um quadrado perfeito, então não satisfaz o enunciado.
ENascimento em 1934 não é um quadrado perfeito, então não satisfaz o enunciado.

Assunto: Equação do 2º grau.

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Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗