Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2006

Question

O número abcde tem cinco algarismos distintos e diferentes de zero, cada um deles representado por uma das letras a, b, c, d, e. Multiplicando-se este número por 4 obtém-se número de cinco algarismos edcba. Qual o valor de a + b + c + d + e?

A
22
B
23
C
24
D
25
E
27

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Sistemas de numeração

O número abcde tem cinco algarismos distintos e diferentes de zero, cada um deles representado por uma das letras a, b, c, d, e. Multiplicando-se este número por 4 obtém-se número de cinco algarismos edcba. Qual o valor de a + b + c + d + e?

A
22
B
23
C
24
D
25
E
27

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Solução oficial da OBMEP

A multiplicação pode ser esquematizada como

\begin{array}{ccccc} \text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{d} & \text{e} \\ \times & & & & 4 \\ \hline \text{e} & \text{d} & \text{c} & \text{b} & \text{a} \end{array}

A solução é baseada nas seguintes observações:


a só pode ser 1 ou 2 porque se a \ge 3 então 4a é um número de 2 algarismos e portanto o número edcba teria 6 algarismos. Mas a não pode ser 1 pois edcba, sendo múltiplo de 4, é par, donde seu último algarismo é par. Logo a = 2.	\to	\begin{array}{ccccc} 2 & \text{b} & \text{c} & \text{d} & \text{e} \\ \times & & & & 4 \\ \hline \text{e} & \text{d} & \text{c} & \text{b} & 2 \end{array}
e só pode ser 8 ou 9 porque 2 \times 4 = 8 e edcba tem apenas 5 algarismos. No entanto, e não pode ser 9 porque 9 \times 4 termina em 6 e não em 2. Logo e = 8.	\to	\begin{array}{ccccc} 2 & \text{b} & \text{c} & \text{d} & 8 \\ \times & & & & 4 \\ \hline 8 & \text{d} & \text{c} & \text{b} & 2 \end{array}
b só pode ser 1 ou 2 porque 4 \times b tem que ser um número de apenas 1 algarismo. Como a = 2 e os cinco algarismos de abcde são distintos, só podemos ter b = 1.	\to	\begin{array}{ccccc} 2 & 1 & \text{c} & \text{d} & 8 \\ \times & & & & 4 \\ \hline 8 & \text{d} & \text{c} & 1 & 2 \end{array}
d só pode ser 2 ou 7 porque 4 \times d + 3 é um número terminado em 1. Como a = 2 e os cinco algarismos de abcde são distintos só podemos ter d = 7.	\to	\begin{array}{ccccc} 2 & 1 & \text{c} & 7 & 8 \\ \times & & & & 4 \\ \hline 8 & 7 & \text{c} & 1 & 2 \end{array}
c só pode ser 9 porque 4c + 3 é um número terminado em c.	\to	\begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 9 & 7 & 8 \\ \times & & & & 4 \\ \hline 8 & 7 & 9 & 1 & 2 \end{array}

Logo, a resposta é 8 + 7 + 9 + 1 + 2 = 27

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Resolução comentada

Se abcde\times 4=edcba tem cinco algarismos, então abcde<25000, ou seja, a\le 2.

Como 4\times abcde termina em a, a é par. Logo a=2.
O produto termina em a=2, então 4e termina em 2, e e=3 ou e=8. Como 4\times 2bcde\ge 80000, o primeiro algarismo do produto, e, é pelo menos 8. Logo e=8.
Fica 4\times\overline{2bcd8}=\overline{8dcb2}. Como 4\times 22000=88000 e o resultado ainda deve começar por 8, temos b\le 2. Com b\ne 0 e b\ne 2, b=1.
Dezenas: 4\times 8=32 deixa "vai 3". Então 4d+3 termina em b=1, ou seja, 4d termina em 8, e d=2 ou d=7. Como 2 já foi usado, d=7. Aqui 4\cdot7+3=31, que deixa "vai 3".
Centenas: 4c+3 termina em c, então 3c\equiv 7 \pmod{10}, e c=9. Aqui 4\cdot 9+3=39, que deixa "vai 3".
Milhares: 4\cdot1+3=7=d, o que confere.

O número é 21978, e 21978\times4=87912. Os algarismos são distintos e não nulos.

2+1+9+7+8=27

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde à soma dos algarismos de 21978; resulta de erro na determinação dos algarismos.
BSoma incorreta, sem relação com o único número que satisfaz a condição.
CValor sem base: o número 21978 dá soma 27, não 24.
DValor sem base: o número 21978 dá soma 27, não 25.

Assunto: Sistemas de numeração.

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Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗