Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2006

Question

As doze faces de dois cubos foram marcadas com números de 1 a 12 de modo que a soma dos números de duas faces opostas em qualquer um dos cubos é sempre a mesma. Joãozinho colou duas faces com números pares, obtendo a figura ao lado. Qual é o produto dos números das faces coladas?

Dois cubos colados lado a lado. O cubo da esquerda mostra o número 1 na face frontal e 5 na face superior; o cubo da direita mostra o número 2 na face frontal, 4 na face superior e 3 na face lateral direita.

A
42
B
48
C
60
D
70
E
72

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

As doze faces de dois cubos foram marcadas com números de 1 a 12 de modo que a soma dos números de duas faces opostas em qualquer um dos cubos é sempre a mesma. Joãozinho colou duas faces com números pares, obtendo a figura ao lado. Qual é o produto dos números das faces coladas?

Dois cubos colados lado a lado. O cubo da esquerda mostra o número 1 na face frontal e 5 na face superior; o cubo da direita mostra o número 2 na face frontal, 4 na face superior e 3 na face lateral direita.

A
42
B
48
C
60
D
70
E
72

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Resolução comentada

Os números de 1 a 12 somam 12\cdot 13/2=78. Cada cubo tem 3 pares de faces opostas, todos com a mesma soma s naquele cubo. Os dois cubos usam 6 números cada, então se as somas forem s_1 e s_2, temos 3s_1+3s_2=78, ou seja, s_1+s_2=26.

No cubo da esquerda aparecem 1 e 5, que não são opostos (são faces vizinhas). No da direita aparecem 2, 4 e 3, também todos vizinhos. As faces coladas são pares, e não aparecem na figura.

O cubo da direita tem 2, 3, 4 visíveis, então seus opostos são s_2-2, s_2-3, s_2-4. O da esquerda tem 1 e 5 visíveis.

Testando: os números de 1 a 12 ficam divididos entre os dois cubos. Como 1 e 5 estão no da esquerda e 2, 3, 4 no da direita, tentamos s_1=13: opostos 12 e 8 (de 1 e 5), restando um par 6 e 7. Então o cubo esquerdo tem {1,12,5,8,6,7}. O cubo direito tem {2,3,4,9,10,11} com s_2=13: pares 2–11, 3–10, 4–9. Confere: soma 26 e todos os números aparecem uma vez.

Faces pares coladas: no cubo esquerdo, a face colada fica oposta à face lateral direita... mas as faces ocultas coladas são a direita do esquerdo e a esquerda do direito. No cubo da direita, a face esquerda é oposta à direita (3), logo vale 10. No cubo da esquerda, a face colada é par e está entre 6, 8 e 12 (pares não visíveis); a face oposta a ela é a da esquerda, que é ímpar ou par: pares 6–7, 8–5, 12–1. A face colada é par e não é 8 nem 12 (opostos a 5 e 1, que são visíveis), então é 6.

Produto: 6\cdot 10=60.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AProduto 42 = 6·7 usa 7, que é ímpar, e não uma face colada.
B48 = 6·8 usa 8, que é oposto ao 5 visível, logo não está oculto como face colada.
D70 = 7·10 usa 7, que é ímpar, mas as faces coladas são pares.
E72 = 6·12 usa 12, que é oposto ao 1 visível, e não pode ser a face colada.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Fonte: OBMEP 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗