Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2006

Resolução comentada

Vamos separar os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 9, na ordem, em blocos de um ou mais algarismos, e somar os blocos. Cada sinal de adição separa dois blocos.

A soma dos algarismos de 1 a 9 é 45. Se todos os blocos tivessem um só algarismo, a soma seria 45, com 8 sinais. Precisamos de 54, ou seja, 9 a mais.

Quando juntamos dois algarismos vizinhos a e b num bloco de dezena, o valor passa de a+b para 10a+b. O aumento é 9a, onde a é o algarismo das dezenas.

Para aumentar exatamente 9, precisamos de 9a=9, logo a=1: formamos o bloco 12 e deixamos o resto separado.

Outra possibilidade seria usar mais blocos de dezenas, mas cada um aumenta pelo menos 9 (com a=1, e só o 1 pode ser a com um único bloco de dois algarismos no começo). Blocos de três algarismos aumentam muito mais. Assim, o mínimo de aumento para cada bloco extra é 9, e só o bloco 12 serve.

A soma fica:

Conferindo: 12+3=15, +4=19, +5=24, +6=30, +7=37, +8=45, +9=54.

Temos 8 blocos, portanto 8-1=7 sinais de adição.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem pensa que usar todos os sinais possíveis (8) dá a menor soma; ela dá 45, e para chegar a 54 é preciso juntar o 1 com o 2, usando 7 sinais.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACom 4 sinais há apenas 5 blocos, o que daria uma soma bem maior que 54.
• BCom 5 sinais há 6 blocos, o que exige blocos grandes e passa de 54.
• CCom 6 sinais há 7 blocos, o que exige mais dezenas e a soma passa de 54.
• ECom 8 sinais todos os algarismos ficam separados e a soma é 45, não 54.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Sistemas de numeração.

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