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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Uma formiguinha parte do centro de um círculo e percorre uma só vez, com velocidade constante, o trajeto ilustrado na figura.

Trajeto percorrido por uma formiguinha ao longo das bordas de um setor circular em um disco com centro em O: ela se desloca do centro ao longo de um raio até a borda, segue pelo arco da circunferência e retorna ao centro por outro raio.

Qual dos gráficos a seguir representa a distância d da formiguinha ao centro do círculo em função do tempo t?

  1. A
    Gráfico em eixos cartesianos d por t: parte da origem crescendo linearmente, permanece constante por um intervalo e depois volta a crescer linearmente.
  2. B
    Gráfico em eixos cartesianos d por t: parte da origem crescendo linearmente, permanece constante em um patamar horizontal e depois decresce linearmente até zero.
  3. C
    Gráfico em eixos cartesianos d por t: cresce linearmente a partir da origem com inclinação íngreme, depois decresce de forma menos inclinada e finalmente decresce de forma mais íngreme até zero.
  4. D
    Gráfico em eixos cartesianos d por t: cresce linearmente até um vértice pontiagudo e decresce linearmente até atingir o eixo t.
  5. E
    Gráfico em eixos cartesianos d por t: cresce linearmente, tem uma curva côncava para cima em forma de U entre dois picos pontiagudos e depois decresce linearmente até zero.
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Resolução comentada

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A distância d é medida até o centro O, e o trajeto tem três trechos. Vamos ver o que acontece com d em cada um.

  1. Do centro até a borda, ao longo de um raio: a formiga se afasta de O em linha reta com velocidade constante, então d cresce linearmente a partir de zero, até chegar a d = R (o raio do círculo).

  2. Ao longo do arco: todos os pontos da circunferência estão a mesma distância R do centro. Como a formiga anda sobre o arco, d = R fica constante, e o gráfico tem um trecho horizontal (patamar).

  3. Retorno pelo outro raio: a formiga se aproxima de O em linha reta com a mesma velocidade, então d decresce linearmente de R até 0, com a mesma inclinação (em módulo) do primeiro trecho.

O gráfico procurado, portanto, sobe em reta, fica constante e desce em reta até zero, formando um trapézio. É o gráfico da alternativa B.

A alternativa A não serve porque, no final, d voltaria a crescer, e a formiga volta ao centro. A alternativa D ignora o arco, e as alternativas C e E mostram variações de d que não ocorrem sobre a circunferência.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADepois do patamar a distância voltaria a crescer, mas a formiga retorna ao centro e d deve cair a zero.
  • CMostra a distância diminuindo durante o arco, mas no arco ela é constante e igual ao raio.
  • DIgnora o arco: seria o caso de ir direto da borda de volta ao centro, sem trecho com d constante.
  • EApresenta uma curva em U no meio, como se a formiga se aproximasse do centro e se afastasse de novo, mas no arco d é constante.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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Ver como caiu na prova Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗