Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2006

Question

Uma caixa contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Dela são retiradas ao acaso duas bolas. Qual a probabilidade de que o maior número assim escolhido seja o 4?

A
\dfrac{1}{10}
B
\dfrac{1}{5}
C
\dfrac{3}{10}
D
\dfrac{2}{5}
E
\dfrac{1}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Uma caixa contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Dela são retiradas ao acaso duas bolas. Qual a probabilidade de que o maior número assim escolhido seja o 4?

A
\dfrac{1}{10}
B
\dfrac{1}{5}
C
\dfrac{3}{10}
D
\dfrac{2}{5}
E
\dfrac{1}{2}

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Resolução comentada

Retirar duas bolas ao acaso significa escolher um par não ordenado entre as cinco bolas. Probabilidade = casos favoráveis ÷ casos possíveis.

Casos possíveis: o número de pares é \binom{5}{2} = \dfrac{5\cdot 4}{2} = 10.
Casos favoráveis: o maior número do par deve ser 4. Então a bola 4 tem de estar no par, e a outra bola tem de ser menor que 4, isto é, 1, 2 ou 3. Os pares são \{1,4\}, \{2,4\} e \{3,4\}, ou seja, 3 casos.
Probabilidade:

P = \dfrac{3}{10}

O par \{4,5\} não serve, pois nele o maior é 5.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta apenas 1 caso favorável em 10, ignorando que a outra bola pode ser 1, 2 ou 3.
BConta 2 pares favoráveis, esquecendo algum dos pares com 4 e uma bola menor.
DConta 4 pares, incluindo indevidamente o par {4,5}, em que o maior é 5.
ENão tem base na contagem; seria o caso de 5 pares favoráveis.

Assunto: Probabilidade: conceitos básicos.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗