Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2006

Resolução comentada

Como 100 = 2^2 \times 5^2, os algarismos do número só podem ser 1, 2, 4, 5 (e 10 não é algarismo). Os dois fatores 5 precisam vir de dois algarismos 5, pois nenhum outro algarismo tem fator 5. Sobram os fatores 2^2 = 4, que podem ser distribuídos assim: um algarismo 4, ou dois algarismos 2, completando com 1 se faltar espaço.

O número tem no máximo 4 algarismos. Os algarismos (sem contar os 1) são:

• {5, 5, 4}: usando 3 algarismos, ou 4 com um 1.
• {5, 5, 2, 2}: usando 4 algarismos.

Contagem:

1. Algarismos 5, 5, 4 (3 algarismos): permutações \frac{3!}{2!} = 3.
2. Algarismos 5, 5, 4, 1 (4 algarismos): \frac{4!}{2!} = 12.
3. Algarismos 5, 5, 2, 2 (4 algarismos): \frac{4!}{2!\,2!} = 6.

Total: 3 + 12 + 6 = 21.

Não há números de 1 ou 2 algarismos, pois o máximo de dois algarismos seria 5\times5=25<100 (e 5×5 só dá 25). Assim, a contagem está completa.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AContaria só alguns casos; há 21 números, bem mais que 10.
• BEsquece parte das permutações (por exemplo, conta só 12 + 6 e erra os de 3 algarismos).
• DConta permutações a mais, sem dividir corretamente pelas repetições de algarismos.
• ESuperestima a contagem ao ignorar que algarismos repetidos geram números iguais.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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