Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2006

Question

Em uma caixa quadrada há 4 bolas brancas e 2 bolas pretas, e numa caixa redonda há 6 bolas, todas pretas. Paula quer que tanto na caixa quadrada quanto na redonda a razão entre a quantidade de bolas brancas e o total de bolas em cada caixa seja a mesma. Quantas bolas brancas Paula precisa tirar da caixa quadrada e passar para a caixa redonda?

Ilustração de Paula transferindo uma bola branca de uma caixa quadrada para uma caixa redonda.

A
nenhuma
B
1
C
2
D
3
E
4

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2006

Nível 1 · Matemática: Razão e proporção

Em uma caixa quadrada há 4 bolas brancas e 2 bolas pretas, e numa caixa redonda há 6 bolas, todas pretas. Paula quer que tanto na caixa quadrada quanto na redonda a razão entre a quantidade de bolas brancas e o total de bolas em cada caixa seja a mesma. Quantas bolas brancas Paula precisa tirar da caixa quadrada e passar para a caixa redonda?

Ilustração de Paula transferindo uma bola branca de uma caixa quadrada para uma caixa redonda.

A
nenhuma
B
1
C
2
D
3
E
4

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução 1: Cada vez que se passa uma bola branca da caixa quadrada para a redonda, tanto o número de bolas brancas quanto o total de bolas na caixa quadrada diminui de 1; já na caixa redonda, tanto o número de bolas brancas quanto o total de bolas aumenta de 1.

Número de bolas brancas passadas da caixa quadrada para a redonda	0	1	2	3	4
Caixa quadrada: \frac{\textbf{bolas brancas}}{\textbf{total de bolas}}	\frac{4}{6}	\frac{3}{5}	\frac{2}{4}	\frac{1}{3}	\frac{0}{2}
Caixa redonda: \frac{\textbf{bolas brancas}}{\textbf{total de bolas}}	\frac{0}{6}	\frac{1}{7}	\frac{2}{8}	\frac{3}{9}	\frac{4}{10}

Como \frac{1}{3} = \frac{3}{9}, Paula terá que passar 3 bolas brancas da caixa quadrada para a redonda.

Solução 2: Seja x o número de bolas brancas que Paula deve transferir da caixa quadrada para a caixa redonda. Então

\frac{4 - x}{6 - x} = \frac{x}{6 + x}

e resolvendo esta equação obtemos x = 3.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

A razão pedida é (bolas brancas) ÷ (total de bolas) em cada caixa. Cada bola branca passada da quadrada para a redonda muda as duas razões, mas o total de bolas no conjunto continua 12 e o de brancas continua 4.

Seja x o número de bolas brancas transferidas.

Caixa quadrada: sobram 4-x brancas e o total passa a ser 6-x. Razão: \frac{4-x}{6-x}.
Caixa redonda: passa a ter x brancas e o total passa a ser 6+x. Razão: \frac{x}{6+x}.
Igualando as razões:

\frac{4-x}{6-x}=\frac{x}{6+x}

Multiplicando em cruz:

(4-x)(6+x)=x(6-x)

24+4x-6x-x^2=6x-x^2

24-2x=6x

x=3

Verificando: a quadrada fica com 1 branca em 3 bolas, razão \frac{1}{3}. A redonda fica com 3 brancas em 9 bolas, razão \frac{3}{9}=\frac{1}{3}. As razões são iguais.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASem transferir, as razões são \frac{4}{6} e 0, que são diferentes.
BCom 1 transferida, as razões são \frac{3}{5} e \frac{1}{7}, diferentes.
CCom 2 transferidas, as razões são \frac{2}{4} e \frac{2}{8}, diferentes.
ECom 4 transferidas, as razões são 0 e \frac{4}{10}, diferentes.

Assuntos: Razão e proporção, Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 16 no caderno Nível 1 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 1. Prova oficial ↗