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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Na figura os quatro círculos são tangentes e seus centros são vértices de um quadrado de lado 4\ \text{cm}. Qual é o comprimento, em centímetros, da linha destacada?

Quatro círculos congruentes dispostos em formato dois por dois, tangentes entre si. Há uma linha preta mais grossa destacada que percorre arcos das circunferências: no círculo superior esquerdo, o arco de um quarto de volta inferior direito; no círculo superior direito, o arco de três quartos de volta que vai do ponto de tangência esquerdo, passando pelo topo e pela direita, até o ponto de tangência inferior; no círculo inferior direito, o arco de um quarto de volta superior esquerdo; e no círculo inferior esquerdo, o arco de três quartos de volta que vai do ponto de tangência superior, passando pela esquerda e por baixo, até o ponto de tangência direito.

  1. A
    2\pi
  2. B
    4\pi
  3. C
    6\pi
  4. D
    8\pi
  5. E
    10\pi
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Os centros dos círculos são vértices de um quadrado de lado 4\ \text{cm}. Como os círculos são tangentes e congruentes, a distância entre dois centros vizinhos é 2r, então 2r = 4 e r = 2\ \text{cm}.

Circunferência de cada círculo:

C = 2\pi r = 2\pi\cdot 2 = 4\pi\ \text{cm}

Agora, o que a figura mostra como linha destacada em cada círculo:

  1. Círculo superior direito: arco de \tfrac34 de volta, que mede \tfrac34\cdot 4\pi = 3\pi.
  2. Círculo inferior esquerdo: também \tfrac34 de volta, que mede 3\pi.
  3. Círculo superior esquerdo: arco de \tfrac14 de volta, que mede \tfrac14\cdot 4\pi = \pi.
  4. Círculo inferior direito: também \tfrac14 de volta, que mede \pi.

Somando:

3\pi + 3\pi + \pi + \pi = 8\pi\ \text{cm}

Outra forma de ver: os arcos de \tfrac34 e \tfrac14 de círculos vizinhos somam, dois a dois, uma circunferência completa. Há duas duplas assim, então 2\cdot 4\pi = 8\pi.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACorresponde a meia circunferência de um círculo de raio 2, muito menos que o comprimento destacado.
  • BÉ só uma circunferência inteira, como se a linha fosse a volta de um único círculo.
  • CSoma só os dois arcos de três quartos (3\pi+3\pi) e esquece os dois arcos de um quarto.
  • EUsa raio 2 para parte dos arcos e erra a fração, ou soma uma circunferência a mais do que o destacado.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Ver como caiu na prova Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗