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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

Os termos de uma seqüência são formados usando-se apenas os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, como segue:

1o termo: 123454321
2o termo: 12345432123454321
3o termo: 1234543212345432123454321
e assim por diante.

Quantas vezes o algarismo 4 aparece no termo que tem 8001 algarismos?

  1. A
    1000
  2. B
    1001
  3. C
    2000
  4. D
    2001
  5. E
    4000
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Resolução comentada

Resolução comentada

Primeiro, descubra como o termo cresce. O 1º termo tem 9 algarismos: 123454321. O 2º tem 17 e o 3º tem 25. Cada termo novo acrescenta 8 algarismos, o bloco 23454321, ao final do anterior.

O termo de ordem n tem, então, 9 + 8(n-1) = 8n + 1 algarismos.

  1. Igualando a 8001: 8n + 1 = 8001, logo 8n = 8000 e n = 1000.

Agora conte os algarismos 4.

  1. O 1º termo tem dois 4: 123454321 tem um 4 antes do 5 e outro depois, ou seja, 2 quatros.
  2. Cada bloco acrescentado, 23454321, também tem dois 4 (um antes e um depois do 5).
  3. O termo de ordem n tem o termo inicial mais n-1 blocos, logo 2 + 2(n-1) = 2n quatros.

Para n = 1000: 2 \cdot 1000 = 2000.

Outra forma de ver: o termo é formado por 1000 "montanhas" 5 no meio (cada uma com um 5), e cada 5 tem um 4 de cada lado. Assim há 1000 cincos e 2000 quatros.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só o número de termos (n = 1000), esquecendo que cada bloco tem dois algarismos 4.
  • BUsa 1000 + 1, confundindo o número de termos com o de algarismos 8001 ou 8n+1.
  • DSoma 1 a 2n por achar que o 4 do início ou do fim é extra, mas o termo tem exatamente 2n quatros.
  • EDobra o resultado correto, contando quatro 4 por bloco em vez de dois.

Assunto: Sequências e padrões.

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Ver como caiu na prova Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗