Questão 8 (Nível 1) da OBMEP 2005

Question

Daniela quer cercar o terreno representado pela figura. Nessa figura dois lados consecutivos são sempre perpendiculares e as medidas de alguns lados estão indicadas em metros. Quantos metros de cerca Daniela terá que comprar?

Polígono que representa o terreno, com lados consecutivos perpendiculares marcados com ângulos retos, indicando as medidas: lado superior de 60 metros, lado direito de 60 metros, lado inferior de 80 metros e lado esquerdo de 40 metros.

A
140
B
280
C
320
D
1 800
E
4 800

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 1) da OBMEP 2005

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Daniela quer cercar o terreno representado pela figura. Nessa figura dois lados consecutivos são sempre perpendiculares e as medidas de alguns lados estão indicadas em metros. Quantos metros de cerca Daniela terá que comprar?

Polígono que representa o terreno, com lados consecutivos perpendiculares marcados com ângulos retos, indicando as medidas: lado superior de 60 metros, lado direito de 60 metros, lado inferior de 80 metros e lado esquerdo de 40 metros.

A
140
B
280
C
320
D
1 800
E
4 800

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Polígono com vértices A, B, C, D, E, F, com um ponto G na base AB (alinhado verticalmente com o segmento DE) e uma letra H no lado BC.]

Precisamos calcular o perímetro do polígono mostrado na figura, ou seja, queremos achar AB + BC + CD + DE + EF + FA. Nesta soma conhecemos as parcelas AB = 80, BC = 60, CD = 60 e FA = 40, e assim nosso problema é achar o comprimento de DE e EF. O ponto G na figura é construído prolongando-se o lado DE. Obtemos então os dois retângulos AGEF e BCDG. Logo EF = AB - CD = 80 - 60 = 20 e DE = BC - AF = 60 - 40 = 20. Assim, o perímetro pedido é 80 + 60 + 60 + 20 + 20 + 40 = 280\text{ metros}. Para justificar o raciocínio acima, notamos que AGEF e BCDG são retângulos porque dois quaisquer de seus lados consecutivos são perpendiculares. Como os lados opostos de um retângulo têm a mesma medida, podemos calcular EF e DE mais detalhadamente como EF = AG = AB - BG = AB - CD = 80 - 60 = 20 e DE = DG - EG = BC - AF - 60 - 40 = 20.

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Resolução comentada

A cerca percorre todo o contorno do terreno, então precisamos do perímetro. Como alguns lados não têm medida indicada, usamos a ideia de que, em uma figura com ângulos retos, os lados horizontais e verticais se "compensam".

O polígono tem lados só na horizontal e na vertical. Imagine deslocar o degrau do canto superior esquerdo até as bordas: o perímetro não muda, e fica igual ao de um retângulo com a mesma largura e a mesma altura.

Largura total (lado inferior): 80\ \text{m}. Os lados horizontais de cima somam o mesmo: o trecho de 60\ \text{m} mais o pedaço do degrau, que vale 80 - 60 = 20\ \text{m}. Total em cima: 60 + 20 = 80\ \text{m}.
Altura total (lado direito): 60\ \text{m}. Os lados verticais da esquerda somam o mesmo: o trecho de 40\ \text{m} mais o pedaço do degrau, que vale 60 - 40 = 20\ \text{m}. Total: 40 + 20 = 60\ \text{m}.
Perímetro:

80 + 80 + 60 + 60 = 280\ \text{m}

Portanto, Daniela precisa comprar 280 metros de cerca.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASoma só os quatro valores indicados na figura (60+60+80+40 = 240) ou erra a conta; ignora os lados do degrau.
CSupõe lados maiores do que os reais, como se somasse 80+80+80+80; não usa as medidas do degrau.
DCalcula área aproximada (60×30) em vez de perímetro.
ECalcula a área do retângulo 80×60 em vez do perímetro.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 8 no caderno Nível 1 da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2005 · Nível 1. Prova oficial ↗