Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Um múltiplo de 3 tem a forma 3k, com k inteiro. Queremos contar os valores de k para os quais 3k fica entre 1 e 2 005.

1. O menor múltiplo positivo de 3 é 3 \cdot 1 = 3, que já é maior que 1.
2. Para achar o maior, dividimos 2 005 por 3: 2005 \div 3 = 668 com resto 1, pois 3 \cdot 668 = 2004.
3. Então o maior múltiplo de 3 menor que 2 005 é 2004, que corresponde a k = 668.
4. Os valores de k vão de 1 a 668, ou seja, são 668 números.

Conferindo: 2004 \le 2005 e o próximo múltiplo, 2007, passa de 2 005. Como 1 e 2 005 não são múltiplos de 3, não importa se os extremos entram ou não na contagem.

Portanto, existem 668 múltiplos de 3 entre 1 e 2 005.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem base na divisão; fica abaixo do quociente 668 sem justificativa.
• BTambém não corresponde ao quociente de 2 005 por 3, que é 668.
• CAproxima 2 005 ÷ 3 de forma errada (cerca de 668,3); 667 perde o múltiplo 2 004.
• EArredonda 668,33 para cima ou soma 1 indevidamente, contando 2 007, que passa de 2 005.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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