Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2005

Resolução comentada

A equação é 2x^2 - bx + 60 = 0, com b apagado, e uma das raízes é 6.

Usamos as relações de Girard: para ax^2+bx+c=0, o produto das raízes é \frac{c}{a} e a soma é -\frac{b}{a}.

1. Produto das raízes: 6\cdot r = \frac{60}{2} = 30, logo r = 5.
2. Soma das raízes: 6+5 = 11.
3. Na equação 2x^2 - bx + 60 = 0, o coeficiente de x é -b, então a soma das raízes é \frac{b}{2}. Assim, \frac{b}{2}=11 e b=22.

Conferindo por substituição: 2\cdot 6^2 - b\cdot 6 + 60 = 72 - 6b + 60 = 132 - 6b = 0, o que dá b = 22. ✓

O número apagado na linha de cima é 22 (a outra raiz, apagada na linha de baixo, é 5).

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa A (11) engana quem para na soma das raízes e esquece que ela vale b/2, não b.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ a soma das raízes (6 + 5), esquecendo de multiplicar por 2, que é o coeficiente de x².
• BNão corresponde a nenhum cálculo correto; com b = 12, 6 não seria raiz (132 − 72 ≠ 0).
• CNão corresponde a nenhum cálculo correto; com b = 13, 6 não seria raiz.
• DCom b = 20, 6 não é raiz: 132 − 120 = 12 ≠ 0.

Assunto: Equação do 2º grau.

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