Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Primeiro, descubra quanto cada amigo anda em 1 minuto.

1. Velocidade: 6\ \text{km/h} = 6000\ \text{m} por 60\ \text{min}, ou seja, 100\ \text{m/min}.
2. Em 1 minuto, cada um percorre 100\ \text{m}.

Agora monte o triângulo: os vértices são P e as posições dos dois amigos, A e B. Os lados PA e PB medem 100\ \text{m} cada, e o ângulo entre eles em P é 60^\circ.

Um triângulo isósceles com ângulo de 60^\circ no vértice tem os outros dois ângulos iguais, e a soma deles é 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ. Logo cada um mede 60^\circ, e o triângulo é equilátero.

Assim, o terceiro lado AB também mede 100\ \text{m}.

Conferindo pela lei dos cossenos: AB^2 = 100^2 + 100^2 - 2\cdot 100\cdot 100\cdot \cos 60^\circ = 20000 - 10000 = 10000, então AB = 100\ \text{m}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem justificativa; o triângulo equilátero dá 100 m, não 80 m.
• BValor sem relação com o cálculo; o lado oposto ao ângulo de 60° mede 100 m.
• CValor aproximado sem base; a distância exata é 100 m.
• EPassa de 100 m, impossível num triângulo equilátero de lado 100 m.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Razões especiais: velocidade, densidade e vazão, Unidades de medida e conversões.

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