Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Seja n o número de bolas, com 101 \le n \le 139. Cada afirmação vira um intervalo:

• Regina: 101 \le n \le 119
• Paulo: 106 \le n \le 129
• Iracema: 121 \le n \le 139

Queremos os valores de n que tornam exatamente uma afirmação verdadeira. Vamos testar cada faixa do número.

1. n de 101 a 105: só Regina acerta (Paulo exige mais de 105). São 5 valores.
2. n de 106 a 119: Regina e Paulo acertam juntos. Dois acertos, não serve.
3. n = 120: Regina não (precisa ser menor que 120), Paulo sim (está entre 105 e 130), Iracema não (precisa ser maior que 120). Só Paulo acerta. Serve: 1 valor.
4. n de 121 a 129: Paulo e Iracema acertam. Dois acertos, não serve.
5. n de 130 a 139: só Iracema acerta (Paulo exige menos de 130). São 10 valores.

Total: 5 + 1 + 10 = 16 valores possíveis.

Alternativa E.

Pegadinha: O valor 120 engana: não está em nenhum intervalo de Regina nem de Iracema, mas está no de Paulo, então é válido e é facilmente esquecido.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConsidera só o valor 120, esquecendo as faixas em que apenas Regina ou apenas Iracema acerta.
• BConta apenas os valores de 101 a 105, em que só Regina acerta.
• CEsquece parte dos valores, por exemplo omite o 120 e erra a contagem da faixa de 130 a 139.
• DTambém erra a contagem das faixas isoladas, deixando de incluir alguns valores válidos.

Assuntos: Conjuntos e conjuntos numéricos, Lógica e raciocínio lógico.

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