Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Observe o padrão: a tabela se repete em blocos de 15 números. Em cada bloco, a primeira linha tem 1 número (coluna A), a segunda tem 2 (A e B), a terceira tem 3, a quarta tem 4 e a quinta tem 5, e então tudo recomeça. Como 1+2+3+4+5=15, cada bloco ocupa 5 linhas.

O bloco seguinte começa no 16, que cai na coluna A, e assim por diante. Portanto, a coluna de um número depende só do seu lugar dentro do bloco, ou seja, do resto da divisão por 15.

1. Divida 2 005 por 15: 2005 = 15\cdot 133 + 10, pois 15\cdot133=1995.
2. O resto é 10, então 2 005 ocupa a mesma posição que o número 10 no primeiro bloco.
3. No primeiro bloco, o 10 está na linha com 7, 8, 9, 10, e é o quarto número dessa linha, isto é, a coluna D.

Conferindo: 1 995 é o último número de um bloco (coluna E). Depois dele vêm 1 996 (A), 1 997 e 1 998 (A, B), 1 999, 2 000, 2 001 (A, B, C) e 2 002, 2 003, 2 004, 2 005 (A, B, C, D). Logo, 2 005 está na coluna D.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConfunde com o primeiro número de uma linha; 2 005 é o quarto da linha, não o primeiro.
• BErra a contagem do resto ou da posição dentro da linha e para no segundo número.
• CPara no terceiro número da linha, quando 2 005 é o quarto.
• ESupõe que 2 005 termina um bloco, mas quem termina é 1 995 ou 2 010; o resto 10 não é 0.

Assuntos: Sequências e padrões, Divisibilidade, MMC e MDC.

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