Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais.

1. No triângulo ABC, a base é BC e B\hat{A}C = 30^\circ. Logo, A\hat{B}C = A\hat{C}B = \dfrac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ.

2. O triângulo BCD é isósceles de base BD, então os ângulos da base são iguais: C\hat{B}D = C\hat{D}B. Como D está em AB, C\hat{B}D = A\hat{B}C = 75^\circ. Assim, C\hat{D}B = 75^\circ.

3. No triângulo BCD, o ângulo do vértice é B\hat{C}D = 180^\circ - 75^\circ - 75^\circ = 30^\circ.

4. O ângulo A\hat{C}B = 75^\circ é formado por B\hat{C}D e D\hat{C}A:

Conferindo no triângulo ADC: A\hat{D}C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ, e 30^\circ + 105^\circ + 45^\circ = 180^\circ. ✓

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana por trazer 75^\circ, o ângulo da base inteiro A\hat{C}B, sem subtrair B\hat{C}D = 30^\circ.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão resulta de nenhuma etapa correta; o ângulo B\hat{C}D vale 30^\circ e o resultado é 75^\circ-30^\circ.
• CConfunde D\hat{C}A com um ângulo de triângulo equilátero; ignora que A\hat{C}B = 75^\circ.
• DÉ o valor do ângulo da base A\hat{C}B, e não de D\hat{C}A, que é só parte dele.
• ESupõe CD perpendicular a AB, o que não ocorre, pois C\hat{D}B = 75^\circ.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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