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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2005

Nível 3 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Uma escola resolveu construir uma pista de corrida, formada por dois trechos retos de comprimento C e dois trechos semicirculares de raio igual a 10 metros, conforme indicado na figura (não se leva em conta a largura da pista).

Esquema de uma pista de corrida em formato oval, composta por dois trechos retos horizontais de comprimento C e duas curvas semicirculares nas extremidades. No semicírculo direito, uma linha vertical tracejada indica o diâmetro, cotado com uma seta de duas pontas com valor 20.

Os alunos da escola propuseram cinco valores para C: 20 m, 25 m, 30 m, 35 m e 40 m. Para qual desses valores de C a soma dos comprimentos dos trechos retos está mais próxima da soma dos comprimentos dos trechos semicirculares?

  1. A
    20 m
  2. B
    25 m
  3. C
    30 m
  4. D
    35 m
  5. E
    40 m
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Resolução comentada

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Os dois trechos retos têm, juntos, comprimento 2C.

Os dois trechos semicirculares, de raio 10\ \text{m}, juntos formam uma circunferência completa. Seu comprimento é:

2\pi r = 2\pi\cdot 10 = 20\pi \approx 20\cdot 3{,}14 = 62{,}8\ \text{m}

Queremos que 2C fique o mais perto possível de 62{,}8. Calculamos 2C para cada valor:

  1. C=20: 2C=40, diferença 22{,}8.
  2. C=25: 2C=50, diferença 12{,}8.
  3. C=30: 2C=60, diferença 2{,}8.
  4. C=35: 2C=70, diferença 7{,}2.
  5. C=40: 2C=80, diferença 17{,}2.

A menor diferença é 2{,}8\ \text{m}, para C=30\ \text{m}.

Alternativa C.

Pegadinha: Quem compara C (e não 2C) com o comprimento de uma só semicircunferência (10π ≈ 31,4) é levado à alternativa C por coincidência, ou quem usa só uma curva erra o raciocínio; é preciso somar os dois retos e as duas curvas.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom C = 20, os retos somam 40 m, diferença de 22,8 m em relação a 62,8 m.
  • BCom C = 25, os retos somam 50 m, diferença de 12,8 m.
  • DCom C = 35, os retos somam 70 m, diferença de 7,2 m, maior que a de C = 30.
  • ECom C = 40, os retos somam 80 m, diferença de 17,2 m.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Ver como caiu na prova Questão 14 no caderno Nível 3 da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗