Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2005

Question

Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrados com uma cerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno?

A
4 m
B
7 m
C
11 m
D
17 m
E
28 m

Answer 1

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Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2005

Nível 3 · Matemática: Equação do 2º grau

Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrados com uma cerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno?

A
4 m
B
7 m
C
11 m
D
17 m
E
28 m

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Denotemos por c o comprimento e por l a largura do terreno. Então o perímetro do terreno é 2 \times (c + l) e sua área é c \times l. Já sabemos a área do terreno, que é 60\text{ m}^2, donde c \times l = 60. O enunciado nos diz que foram usados 64\text{ m} de arame para uma cerca de dois fios, e assim o perímetro do terreno é 64 \div 2 = 32\text{ m}. Logo 2 \times (c + l) = 32 e concluímos que c + l = 16. Segue que c e l são dois números cuja soma é 16 e o produto é 60. É facil ver que esses números são 6 e 10. Assim, a diferença pedida é 10 - 6 = 4\text{ m}.

Mais geralmente, sabemos que o problema de determinar dois números reais dos quais se conhece a soma s e o produto p equivale a achar as soluções da equação x^2 - sx + p = 0. As raízes reais desta equação (caso existam) serão os números procurados. No nosso caso, temos que c e l são raízes de x^2 - 16x + 60 = 0. Usando a fórmula habitual x = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 60}}{2} = \frac{16 \pm 4}{2} obtemos as raízes 6 e 10.

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Resolução comentada

Como a cerca tem dois fios de arame, os 64 m de arame dão duas voltas completas no terreno. Então o perímetro do retângulo é:

\frac{64}{2}=32\ \text{m}

Chamando de x o comprimento e y a largura, temos:

Perímetro: 2(x+y)=32, logo x+y=16.
Área: x\cdot y=60.

Procuramos dois números com soma 16 e produto 60. Testando os pares de fatores de 60: 6\cdot 10=60 e 6+10=16. Servem x=10 e y=6.

Conferindo: perímetro 2(10+6)=32 m, área 10\cdot 6=60\ \text{m}^2.

Outra forma, sem testar: (x-y)^2=(x+y)^2-4xy=16^2-4\cdot 60=256-240=16, então x-y=4.

A diferença entre comprimento e largura é 10-6=4 m.

Alternativa A.

Pegadinha: Usar 64 m como perímetro, esquecendo que são dois fios; isso daria x+y=32 e levaria a uma resposta errada.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão corresponde a nenhum par de lados que tenha soma 16 e produto 60.
CNão corresponde a nenhum par de lados que tenha soma 16 e produto 60.
DNão corresponde a nenhum par de lados que tenha soma 16 e produto 60.
ENão corresponde a nenhum par de lados que tenha soma 16 e produto 60.

Assuntos: Equação do 2º grau, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗