Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2005

Question

Uma parede de 3 metros de altura por 9 metros de comprimento foi inteiramente coberta com azulejos quadrados de 10 cm de lado. Foram usados dois tipos de azulejos: um totalmente branco e o outro preto e branco. A figura representa o padrão usado, a partir do canto inferior esquerdo da parede. Qual é a área da parede coberta com a cor branca?

Padrão de revestimento de azulejos na parede

A
21\ \text{m}^2
B
22\ \text{m}^2
C
23\ \text{m}^2
D
24\ \text{m}^2
E
25\ \text{m}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2005

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma parede de 3 metros de altura por 9 metros de comprimento foi inteiramente coberta com azulejos quadrados de 10 cm de lado. Foram usados dois tipos de azulejos: um totalmente branco e o outro preto e branco. A figura representa o padrão usado, a partir do canto inferior esquerdo da parede. Qual é a área da parede coberta com a cor branca?

Padrão de revestimento de azulejos na parede

A
21\ \text{m}^2
B
22\ \text{m}^2
C
23\ \text{m}^2
D
24\ \text{m}^2
E
25\ \text{m}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O padrão usado para cobrir a parede é formado por mosaicos constituídos de nove azulejos, como na figura.

[Figura: mosaico quadrado formado por uma grade 3 × 3 de azulejos, no qual cada um dos quatro azulejos dos cantos possui um triângulo preto no vértice exterior.]

Em cada mosaico, a área preta corresponde à metade de quatro quadrados, ou seja, a dois quadrados. Deste modo, a área preta é 2/9 da área do mosaico e a área branca é 1 - 2/9 = 7/9 da área do mosaico. A parede tem 9\text{ m} = 900\text{ cm} de comprimento e 3\text{ m} = 300\text{ cm} de altura. Como 900 \div 30 = 30 e 300 \div 30 = 10, a parede pode ser coberta por 30 \times 10 = 300 mosaicos, cada um com área 30 \times 30 = 900\text{ cm}^2. Deste modo, a área da parede coberta

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Resolução comentada

A parede mede 3\ \text{m} \times 9\ \text{m}, e cada azulejo tem 10\ \text{cm} de lado. Logo, são 30 azulejos de altura e 90 de comprimento, ou seja, 2700 azulejos. Cada azulejo tem área 0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01\ \text{m}^2, e a área total é 27\ \text{m}^2.

A área branca é 27 menos a área preta. Para achar a preta, procure o padrão que se repete na figura.

Os losangos pretos (quadrados girados) são formados por 4 azulejos pretos e brancos, cada um com um triângulo preto que é metade do azulejo. Assim, cada losango inteiro ocupa 4 azulejos e tem área preta de 4 \times \tfrac{1}{2} = 2 azulejos.

Na figura, os losangos aparecem a cada 3 azulejos na horizontal e a cada 3 na vertical. O padrão se repete em blocos de 3 \times 3 azulejos, e cada bloco contém uma área preta de 2 azulejos (partes de losangos cortadas nas bordas se completam entre blocos vizinhos).

Número de blocos: \dfrac{30}{3} \times \dfrac{90}{3} = 10 \times 30 = 300.
Área preta: 300 \times 2 = 600 azulejos, ou seja, 600 \times 0{,}01 = 6\ \text{m}^2.
Área branca: 27 - 6 = 21\ \text{m}^2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BSubtrai uma área preta de 5 m², contando menos preto do que existe.
CSubtrai apenas 4 m² de preto, subestimando os losangos.
DConsidera só 3 m² de preto, como se cada losango tivesse 1 azulejo preto.
ESubtrai apenas 2 m² de preto, ignorando a maior parte dos losangos.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2005 · Nível 3. Prova oficial ↗