Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2005

Resolução comentada

Para ter as duas cores, o cubinho precisa ter pelo menos uma face amarela e pelo menos uma verde. Isso só acontece com cubinhos que ficam em arestas do cubo grande, onde duas faces pintadas se encontram.

Suponha que as faces amarelas sejam o topo e a base. As outras quatro faces (laterais) são verdes.

1. O cubo tem 12 arestas.
2. As arestas do topo (4) e da base (4) ligam uma face amarela a uma face verde. Total: 8 arestas com duas cores.
3. As 4 arestas verticais ligam duas faces verdes, então ali só há verde.

Cada aresta tem 3 cubinhos: 2 nos cantos e 1 no meio. Os cubinhos dos cantos têm 3 faces pintadas, e todos os 8 cantos tocam o topo ou a base, então já têm amarelo e verde. Assim, contando todos os cubinhos das 8 arestas de topo e base:

• Cantos: 8 cubinhos (todos os cantos do cubo).
• Meios dessas arestas: 8 cubinhos (1 por aresta).

Total: 8 + 8 = 16.

Os cubinhos do meio das arestas verticais têm só verde, e os centros das faces têm uma só cor. O cubinho central não tem pintura.

Alternativa A.

Pegadinha: Contar as 12 arestas como se todas tivessem duas cores: as 4 arestas verticais ligam faces verdes e não contam (só os cantos delas já foram contados).

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem justificativa; não corresponde à contagem de 8 cantos mais 8 meios de aresta.
• CConta também as arestas verticais, que só têm verde, ou erra a soma.
• DValor sem base na contagem de cubinhos em arestas bicolores.
• EConta as 12 arestas com 2 cubinhos de meio e cantos de forma errada, chegando a 8 + 16.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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