Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2005

Question

Uma folha quadrada foi cortada em quadrados menores da seguinte maneira: um quadrado de área 16\text{ cm}^2, cinco quadrados de área 4\text{ cm}^2 cada um e treze quadrados de área 1\text{ cm}^2 cada um. Qual era a medida do lado da folha, antes de ela ser cortada?

A
3\text{ cm}
B
4\text{ cm}
C
5\text{ cm}
D
7\text{ cm}
E
8\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2005

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Uma folha quadrada foi cortada em quadrados menores da seguinte maneira: um quadrado de área 16\text{ cm}^2, cinco quadrados de área 4\text{ cm}^2 cada um e treze quadrados de área 1\text{ cm}^2 cada um. Qual era a medida do lado da folha, antes de ela ser cortada?

A
3\text{ cm}
B
4\text{ cm}
C
5\text{ cm}
D
7\text{ cm}
E
8\text{ cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Lembre que a área de um quadrado de lado L é igual a L^2 ; deste modo, se conhecemos a área a de um quadrado então seu lado é \sqrt{a} A área da folha cortada é a soma das áreas dos quadrados menores, que é 16 + 5 \times 4 + 13 \times 1 = 49\text{ cm}^2. Logo, antes de ser cortada, a folha tinha lado \sqrt{49} = 7\text{ cm}.

Outra solução deste problema é notar que os quadrados do enunciado podem ser agrupados de modo a formar um quadrado maior de lado 7, conforme indicado no desenho.

[Figura: Quadrado de lado 7 decomposto nos quadrados menores mencionados: um quadrado de lado 4 no canto inferior esquerdo; cinco quadrados de lado 2, sendo dois sobre o quadrado de lado 4, dois à sua direita e um no canto superior desse bloco de tamanho 2; e treze quadrados de lado 1, dispostos em uma linha de sete quadrados no topo e uma coluna de seis quadrados na lateral direita. Na margem esquerda, estão cotadas as alturas 1, 2 e 4 (de cima para baixo); na margem inferior, estão cotadas as larguras 4, 2 e 1 (da esquerda para a direita).]

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Resolução comentada

Como a folha foi totalmente dividida em quadrados menores, sem sobras nem sobreposições, a área da folha é a soma das áreas dos pedaços.

Calculando a área de cada grupo:

Um quadrado de 16\ \text{cm}^2: 16\ \text{cm}^2.
Cinco quadrados de 4\ \text{cm}^2: 5\times 4 = 20\ \text{cm}^2.
Treze quadrados de 1\ \text{cm}^2: 13\times 1 = 13\ \text{cm}^2.

Área total:

16+20+13 = 49\ \text{cm}^2

Como a folha é quadrada, sua área é o lado ao quadrado:

\ell^2 = 49 \Rightarrow \ell = 7\ \text{cm}

Conferindo se é possível: o quadrado de área 16 tem lado 4, os de área 4 têm lado 2 e os de área 1 têm lado 1. Todos cabem em um quadrado de lado 7, então o valor é coerente.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASoma só as quantidades de quadrados menores ou erra a raiz; 3 cm daria área 9 cm², muito menor que 49 cm².
BConsidera apenas o lado do maior quadrado (4 cm), ignorando os demais pedaços.
CLado 5 cm daria área 25 cm², que não é a soma das áreas dos pedaços.
ELado 8 cm daria área 64 cm², maior que os 49 cm² obtidos na soma.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Potenciação e radiciação.

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Questão 12 no caderno Nível 1 da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2005 · Nível 1. Prova oficial ↗