PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2025
Um tabuleiro 3 \times 20 foi preenchido com os números de 1 a 60, sendo que cada linha foi preenchida da esquerda para a direita com os números em ordem crescente. A primeira linha foi preenchida com os números de 1 a 20, a segunda linha, com os números de 21 a 40 e a terceira linha, com os números de 41 a 60. Cada uma das figuras abaixo mostra um pedaço desse tabuleiro.
a) Qual é o valor de x?
b) Os números y, z e w na figura a seguir são divisíveis por um mesmo número natural d maior do que 1. Qual é o valor de d?
c) Quais são os possíveis valores de y no item anterior?
Reportar erro na questão
Resolução comentada
Resolução comentada
a) Em cada linha, o número da primeira linha coincide com o número da coluna. Logo o 17 está na coluna 17 do tabuleiro.
Na figura, o x está duas colunas à esquerda do 17, ou seja, na coluna 15, mas na terceira linha. A terceira linha começa em 41 (coluna 1 = 41), então a coluna k tem o número 40+k.
x=55
b) Seja c a coluna do tabuleiro onde começa o pedaço da figura. Cada linha soma 20 ao número da linha de cima na mesma coluna.
- y está na linha 1, sexta coluna do pedaço: y=c+5.
- z está na linha 2, sétima coluna do pedaço: z=20+(c+6)=c+26.
- w está na linha 3, primeira coluna do pedaço: w=40+c.
Se d divide y, z e w, então divide também as diferenças:
Assim, d divide 21 e 14, ou seja, divide \text{mdc}(21,14)=7. Como d>1, só pode ser d=7.
d=7
c) O pedaço tem 7 colunas dentro de um tabuleiro de 20, então c vai de 1 a 14. Portanto y=c+5 vai de 6 a 19.
Os números divisíveis por 7 nesse intervalo são 7 e 14.
- y=7: c=2, z=28, w=42. Todos são múltiplos de 7. ✓
- y=14: c=9, z=35, w=49. Todos são múltiplos de 7. ✓
y=7 ou y=14
Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗