PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2025
Roberta tem peças em forma de triângulo equilátero de área 1\ \text{cm}^2 e peças em forma de losango formado por dois desses triângulos. Essas peças podem ter a cor cinza, branca ou preta, como mostra a figura ao lado. Ela constrói figuras maiores usando essas peças.
a) Usando peças de uma única cor, Roberta quer montar dois quadriláteros de formas diferentes, cada um deles com área de 8\ \text{cm}^2. Desenhe abaixo como Roberta pode fazer isso.
b) Roberta tentou cobrir um retângulo azul ABCD com suas peças, mas o máximo que conseguiu fazer foi a montagem representada na figura. Qual é a área desse retângulo azul?
c) Roberta quer cobrir o triângulo abaixo usando o menor número possível de peças. Quantos losangos ela deverá usar? Justifique sua resposta.
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Resolução comentada
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a) Numa cor só, os triângulos de cor cinza ficam todos "para cima", e o losango tem sempre a mesma inclinação. Os 4 losangos de 2\ \text{cm}^2 cada, todos iguais e de mesma cor, somam 4 \cdot 2 = 8\ \text{cm}^2. Com eles dá para montar dois quadriláteros diferentes na malha:
- Faixa (paralelogramo 1 \times 4): 4 losangos de mesma cor lado a lado, todos com a mesma inclinação, encostados pelo lado.
- Losango grande de lado 2: 4 losangos de mesma cor, 2 em cada fileira, formando um quadrado de losangos 2 \times 2 (um losango com o dobro do lado).
Os dois têm área 8\ \text{cm}^2, são quadriláteros e têm formas diferentes: um é comprido e estreito, o outro tem os quatro lados iguais a 2.
Resposta: uma faixa de 4 losangos e um losango grande de 2\times 2 losangos, ambos de uma só cor.
b) Na figura, os triângulos têm um lado na vertical. Seja s o lado do triângulo e h sua altura. A área de cada triângulo é \frac{h\cdot s}{2} = 1, logo h\cdot s = 2\ \text{cm}^2.
Contando na figura:
- A largura AB é igual a 7 alturas de triângulo: 7h.
- A altura AD é igual a 7 meios-lados: \frac{7s}{2}.
A área do retângulo é
A conferência é por faixas. Cada faixa vertical de largura h tem área h\cdot\frac{7s}{2} = 7\ \text{cm}^2, e são 7 faixas, o que dá 49\ \text{cm}^2. Os pedaços azuis somam 7\ \text{cm}^2 e o restante, coberto, soma 42\ \text{cm}^2.
Resposta: 49\ \text{cm}^2.
c) O triângulo grande tem 16 triângulos pequenos: 10 com a ponta para cima e 6 com a ponta para baixo. Os 6 de ponta para baixo são os marcados na figura.
Cada losango cobre 2 triângulos pequenos, então o número de peças é 16 - (\text{número de losangos}). Para usar o menor número de peças, ela precisa do maior número possível de losangos.
Todo losango cobre exatamente um triângulo de ponta para baixo e um de ponta para cima. Só há 6 triângulos de ponta para baixo, então podem ser usados no máximo 6 losangos.
Isso é possível. Em cada fileira, junte cada triângulo de ponta para baixo ao triângulo de ponta para cima que está à sua esquerda:
- a fileira 2 tem 1 losango;
- a fileira 3 tem 2 losangos;
- a fileira 4 tem 3 losangos.
Sobram 4 triângulos de ponta para cima: o do topo e o último de cada uma das outras três fileiras, que ficam como peças triangulares. Total: 6 + 4 = 10 peças, que é o mínimo.
Resposta: 6 losangos.
Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 1. Prova oficial ↗