Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

Ana, Bia e Carla escolheram, cada uma delas, uma figura favorita dentre as que estão ao lado:

Ana disse que a sua figura é uma estrela preta, mas mentiu apenas sobre a cor;
Bia disse que a sua figura é um triângulo cinza, mas mentiu apenas sobre o formato;
Carla disse que a sua figura é um círculo branco, mas mentiu sobre a cor e o formato.

Grade com nove figuras geométricas dispostas em três linhas e três colunas. Na primeira linha há três triângulos: um preto, um cinza e um branco. Na segunda linha há três círculos: um preto, um cinza e um branco. Na terceira linha há três estrelas de cinco pontas: uma preta, uma cinza e uma branca.

a) Quais das nove figuras podem ser a favorita de Ana?

b) Quais das nove figuras podem ser a favorita de Carla?

c) Se Ana, Bia e Carla têm figuras de formatos e cores diferentes, qual é a figura favorita de cada uma delas? Justifique sua resposta.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Ana, Bia e Carla escolheram, cada uma delas, uma figura favorita dentre as que estão ao lado:

Ana disse que a sua figura é uma estrela preta, mas mentiu apenas sobre a cor;
Bia disse que a sua figura é um triângulo cinza, mas mentiu apenas sobre o formato;
Carla disse que a sua figura é um círculo branco, mas mentiu sobre a cor e o formato.

Grade com nove figuras geométricas dispostas em três linhas e três colunas. Na primeira linha há três triângulos: um preto, um cinza e um branco. Na segunda linha há três círculos: um preto, um cinza e um branco. Na terceira linha há três estrelas de cinco pontas: uma preta, uma cinza e uma branca.

a) Quais das nove figuras podem ser a favorita de Ana?

b) Quais das nove figuras podem ser a favorita de Carla?

c) Se Ana, Bia e Carla têm figuras de formatos e cores diferentes, qual é a figura favorita de cada uma delas? Justifique sua resposta.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A figura de Ana é uma estrela, pois ela mentiu apenas sobre a cor. Logo, Ana pode ter feito uma das escolhas: estrela branca ou estrela cinza.

b) A figura de Carla não é um círculo, nem tem a cor branca; portanto, ela pode ter escolhido o triângulo cinza ou o triângulo preto ou a estrela cinza ou a estrela preta.

Ana escolheu uma estrela (item a)); logo, Carla obrigatoriamente escolheu um triângulo (item b)), consequentemente a figura da Bia só pode ser um círculo. Ainda não sabemos as cores.

	Forma	Cor
Ana	Estrela	?
Bia	Círculo	?
Carla	Triângulo	?

Como a figura da Bia é cinza (segundo item do enunciado), então ela escolheu o círculo cinza. Logo, o triângulo da Carla não pode ser cinza; assim, Carla escolheu o triângulo preto e como a estrela da Ana não é cinza, então só pode ser branca.

	Forma	Cor
Ana	Estrela	Branca
Bia	Círculo	Cinza
Carla	Triângulo	Preta

[Figura: Três ilustrações alinhadas horizontalmente: uma estrela branca com contorno cinza e a legenda "Ana"; um círculo cinza preenchido com a legenda "Bia"; e um triângulo equilátero preto preenchido com a legenda "Carla".]

Na tabela abaixo, com todos os formatos e cores das figuras, estão indicados os nomes das possíveis donas de algumas figuras.

Formato/Cor	Preto	Cinza	Branco
Triângulo	Carla	Carla
Círculo		Bia
Estrela	Carla	Ana/Bia/Carla	Ana

Para que Ana, Bia e Carla tenham figuras de cores e formatos diferentes, cada linha e cada coluna da tabela deve apresentar exatamente um nome correto para a dona de alguma figura.

Formato/Cor	Preto	Cinza	Branco
Triângulo	Carla	Carla
Círculo		Bia
Estrela	Carla	Ana/Bia/Carla	Ana

Portanto, Ana tem a estrela branca, Bia tem o círculo cinza e Carla tem o triângulo preto.

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Resolução comentada

a) Ana disse "estrela preta" e mentiu apenas sobre a cor. Então o formato está certo: a figura é uma estrela. A cor está errada: não é preta. Sobram a estrela cinza e a estrela branca.

Resposta: estrela cinza ou estrela branca.

b) Carla disse "círculo branco" e mentiu sobre a cor e sobre o formato. Então a figura dela não é um círculo e não é branca.

Formato: triângulo ou estrela.
Cor: preta ou cinza.

Combinando, ficam quatro figuras: triângulo preto, triângulo cinza, estrela preta e estrela cinza.

Resposta: triângulo preto, triângulo cinza, estrela preta ou estrela cinza.

c) Bia disse "triângulo cinza" e mentiu apenas sobre o formato. Então a cor cinza está certa e o formato não é triângulo: a figura dela é um círculo cinza ou uma estrela cinza.

As possibilidades de cada uma são:

Ana: estrela cinza ou estrela branca.
Bia: círculo cinza ou estrela cinza.
Carla: triângulo preto, triângulo cinza, estrela preta ou estrela cinza.

Os formatos devem ser todos diferentes. Ana tem sempre estrela, então Bia não pode ter estrela. Logo Bia tem o círculo cinza. Sobra o triângulo para Carla, que então tem triângulo preto ou triângulo cinza.

As cores também devem ser diferentes. Bia já é cinza, então Ana não pode ser cinza e fica com a estrela branca. Carla, que também não pode ser cinza, fica com o triângulo preto.

Conferindo Carla: a figura real é um triângulo preto e ela disse "círculo branco". Errou o formato e a cor, como o enunciado diz.

Resposta: Ana, estrela branca; Bia, círculo cinza; Carla, triângulo preto.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 1 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗