Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

Pedro coloca 11 cartões brancos em fila sobre uma mesa. Ele escolhe um desses cartões ao acaso, joga-o fora e pinta de preto os cartões que estavam à direita dele. A seguir, ele coloca os 10 cartões restantes em uma caixa e sorteia dois deles, um após o outro e sem recolocar o primeiro sorteado na caixa.

Ilustração de uma mesa com cartões brancos enfileirados e uma caixa verde sobre ela

a) Qual é a probabilidade de que nenhum cartão tenha sido pintado de preto?

b) Qual é a probabilidade de que o primeiro cartão sorteado tenha sido pintado de preto?

c) Qual é a probabilidade de que os dois cartões sorteados tenham sido pintados de preto?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Pedro coloca 11 cartões brancos em fila sobre uma mesa. Ele escolhe um desses cartões ao acaso, joga-o fora e pinta de preto os cartões que estavam à direita dele. A seguir, ele coloca os 10 cartões restantes em uma caixa e sorteia dois deles, um após o outro e sem recolocar o primeiro sorteado na caixa.

Ilustração de uma mesa com cartões brancos enfileirados e uma caixa verde sobre ela

a) Qual é a probabilidade de que nenhum cartão tenha sido pintado de preto?

b) Qual é a probabilidade de que o primeiro cartão sorteado tenha sido pintado de preto?

c) Qual é a probabilidade de que os dois cartões sorteados tenham sido pintados de preto?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Para que nenhum cartão seja pintado de preto, é preciso que o cartão escolhido ao acaso seja o mais à direita. A probabilidade de ele ser escolhido é 1/11.

b) 1ª solução:
O cartão a ser removido pode ser escolhido de 11 modos e o cartão sorteado de 10 modos. Logo há 11 \times 10 = 110 casos possíveis. Se o cartão removido é o mais à direita, não há casos favoráveis, porque nenhum cartão foi pintado de preto. Se o cartão removido é o segundo mais à direita, há 1 caso favorável; se for o terceiro, há dois casos favoráveis; e assim por diante, até chegar ao décimo-primeiro cartão. Logo, o número de casos favoráveis é 1 + 2 + 3 + \text{...} + 10 = 55. Portanto, a probabilidade de que o primeiro cartão sorteado seja preto é \frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}} = \frac{55}{110} = \frac{1}{2}.

2ª solução:
Suponhamos que os cartões sobre a mesa sejam numerados de 1 a 11. Escolher um cartão para jogar fora e depois sortear um dos restantes equivale a escolher ao acaso dois números de 1 a 11. O cartão sorteado é preto se e somente se o segundo número sorteado é maior do que o primeiro, o que ocorre com probabilidade 1/2.

3ª solução:
A probabilidade de que um dado cartão da configuração original seja pintado de preto é igual à probabilidade de que seu simétrico seja pintado de branco. Devido a essa simetria as probabilidades de sortear um cartão branco ou um preto são iguais, ou seja, iguais a 1/2.

c) 1ª solução:
O cartão a ser removido pode ser escolhido de 11 modos e os cartões sorteados de 10 e 9 modos, respectivamente. Logo há 11 \times 10 \times 9 = 990 casos possíveis. Se o cartão removido é o mais à direita, não há casos favoráveis, porque nenhum cartão foi pintado de preto. Se o cartão removido é o segundo mais à direita, também não há casos favoráveis, já que só há um cartão preto; se for o terceiro, há dois cartões pretos e, assim, 2 \times 1 casos favoráveis; se for o quarto, há três cartões pretos e, assim, 3 \times 2 casos favoráveis; e assim por diante, até chegar ao décimo-primeiro cartão. Logo, o número de casos favoráveis é 2 \times 1 + 3 \times 2 + \text{...} + 10 \times 9 = 330. Portanto, a probabilidade de que o primeiro cartão sorteado seja preto é \frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}} = \frac{330}{990} = \frac{1}{3}.

2ª solução:
Suponhamos que os cartões sobre a mesa sejam numerados de 1 a 11. Escolher um cartão para jogar fora e depois sortear dois dos restantes equivale a escolher ao acaso três números de 1 a 11. O cartão sorteado é preto se e somente se o primeiro número sorteado é o menor dos três. Como todas as ordenações desses três números são igualmente prováveis, a probabilidade de que o menor seja o primeiro sorteado é igual a 1/3.

Comentário: a resposta não é 1/2 \times 1/2 = 1/4 . Embora sejam iguais as probabilidades de retirar cartão branco ou preto em cada extração, esses eventos não são independentes.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Os 11 cartões têm a mesma chance de serem escolhidos para ser jogado fora, então cada posição tem probabilidade \frac{1}{11}.

Nenhum cartão é pintado quando o escolhido é o último da fila, pois não há cartões à sua direita. Isso acontece em apenas 1 das 11 posições.

Resposta: \frac{1}{11}.

b) Se Pedro joga fora o cartão da posição k (de 1 a 11), sobram 11-k cartões pretos e k-1 brancos, num total de 10 cartões. Nesse caso, a chance de o primeiro sorteado ser preto é \frac{11-k}{10}.

Como cada k tem probabilidade \frac{1}{11}, somamos as possibilidades:

P=\frac{1}{11}\cdot\frac{0+1+2+\dots+10}{10}=\frac{1}{11}\cdot\frac{55}{10}=\frac{1}{2}.

Resposta: \frac{1}{2}.

c) Com b=11-k cartões pretos entre os 10 da caixa, a probabilidade de os dois sorteados serem pretos é

\frac{b}{10}\cdot\frac{b-1}{9}=\frac{b(b-1)}{90}.

Agora b vai de 0 a 10, cada valor com probabilidade \frac{1}{11}. Calculamos a soma dos produtos b(b-1):

b(b-1)=2\binom{b}{2}.
\sum_{b=0}^{10}\binom{b}{2}=\binom{11}{3}=165.
Logo \sum b(b-1)=330.

Então

P=\frac{1}{11}\cdot\frac{330}{90}=\frac{1}{11}\cdot\frac{11}{3}=\frac{1}{3}.

Resposta: \frac{1}{3}.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗