Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

Michel entregou, em segredo, um cartão com um número inteiro positivo para Rafael e outro para Gabriel. Michel calculou a soma e o produto dos números nos cartões e revelou que 60 foi um dos resultados obtidos. Em seguida, houve o seguinte diálogo entre os três:

Michel: Rafael, você sabe o número do Gabriel?
Rafael: Não tenho informação suficiente para saber.
Michel: Gabriel, você sabe o número do Rafael?
Gabriel: Ainda não tenho informação suficiente para saber.
Rafael: Ah! Agora eu sei o número do Gabriel.

a) Explique por que o número do cartão de Rafael é um divisor de 60.

b) Explique por que Gabriel não pode estar com o cartão de número 15.

c) Qual é o número do cartão de Gabriel?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Michel entregou, em segredo, um cartão com um número inteiro positivo para Rafael e outro para Gabriel. Michel calculou a soma e o produto dos números nos cartões e revelou que 60 foi um dos resultados obtidos. Em seguida, houve o seguinte diálogo entre os três:

Michel: Rafael, você sabe o número do Gabriel?
Rafael: Não tenho informação suficiente para saber.
Michel: Gabriel, você sabe o número do Rafael?
Gabriel: Ainda não tenho informação suficiente para saber.
Rafael: Ah! Agora eu sei o número do Gabriel.

a) Explique por que o número do cartão de Rafael é um divisor de 60.

b) Explique por que Gabriel não pode estar com o cartão de número 15.

c) Qual é o número do cartão de Gabriel?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Antes das perguntas, Rafael e Gabriel obviamente sabem seus números (cada um sabe o seu e vão tentar descobrir qual é o número do outro) e sabem também que 60 pode ser a soma ou o produto deles. Para que cada um saiba o número do outro basta saber se 60 é a soma ou é o produto dos números: se for a soma, basta subtrair de 60 o seu número; se for o produto, basta dividir 60 pelo seu número.

a) O número de Rafael é um divisor de 60 porque, se não fosse, ele saberia que 60 era a soma dos números. Logo, ele saberia o número de Gabriel, e iria responder SIM à primeira pergunta de Michel.

b) Pela resposta de Rafael à primeira pergunta, Gabriel sabe que o número de Rafael é um divisor de 60. Se o seu número fosse o 15 então ele saberia que 60 era o produto dos números, já que 60 - 15 = 45 não é divisor de 60. Logo ele saberia o número de Rafael, e iria responder SIM à pergunta de Michel.

c) Na segunda pergunta, Gabriel respondeu que ainda não tinha informação suficiente para saber o número de Rafael porque, apesar de saber, após a primeira pergunta, que o número de Rafael é um divisor de 60, o seu número não permitia saber se 60 era a soma ou era o produto dos números. Logo, o número de Gabriel também deve ser um divisor de 60, pois, se não fosse, ele saberia que 60 era a soma dos números. Além disso, os números de Rafael e Gabriel são divisores de 60 (pertencem ao conjunto {(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}) que, multiplicados ou somados, resultam 60. As únicas possibilidades são:

(i) ambos com o número 30;

(ii) um com o número 2 e outro com o número 30;

Rafael observou que o número 30 é comum às expressões 60 = 30 + 30 e 60 = 30 \times 2; isso permitiu a ele concluir que o número de Gabriel é 30.

Outra variação da solução:

a) Seja r o número do cartão do Rafael e g o número de Gabriel. Se r não fosse um divisor de 60 então a resposta de Rafael à primeira pergunta seria “sim”. De fato, nesse caso 60 = gr não seria possível; logo 60 = g + r e Rafael poderia calcular g = 60 - r. Como a resposta de Rafael à primeira pergunta foi “não”, segue que r é um divisor de 60.

b) Da mesma maneira, g é um também é um divisor de 60. Se g fosse igual a 15, não poderia ocorrer o caso da soma dos números dos cartões, isto é, não seria possível g + r = 60. De fato, se isso ocorresse, r seria igual 45, mas 45 não é divisor de 60. Logo, ocorre somente o caso r. g = 15.r = 60 e, como consequência, r = 4 (Gabriel saberia o número de Rafael, não ficaria em dúvida).

c) Antes da conclusão, Gabriel pode fazer uma lista dos inteiros da forma g + d e outra dos inteiros da forma gd, em que d percorre todos os divisores de 60. Se 60 aparecesse em apenas uma dessas listas, a resposta do Gabriel à segunda pergunta seria “sim”, pois ele poderia calcular r = 60 - g, caso 60 aparecesse na primeira lista e r = \frac{60}{g}, caso 60 aparecesse na segunda. Dessa maneira, ele só pode ter respondido “não” porque viu que o 60 aparece nas duas listas. Por inspeção, isso ocorre apenas para 60 = 30 + 30 = 30 \times 2; com a informação que o Gabriel tem, nesse momento ele não consegue decidir entre os possíveis valores r = 30 ou r = 2.

Rafael fez o mesmo raciocínio e observou que o número 30 é comum às expressões 60 = 30 + 30 e 60 = 30 \times 2; isso permitiu a ele concluir que g = 30.

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Resolução comentada

a) Rafael sabe que 60 é a soma ou o produto dos dois números. Chame de x o número dele.

Se x não fosse divisor de 60, o produto não poderia ser 60. Sobraria só a soma, e Gabriel teria 60-x (ou a situação seria impossível, se x>60). Rafael saberia o número do Gabriel de imediato.
Rafael disse que não sabe. Logo, o produto 60 é possível, ou seja, x divide 60.

Além disso, x\neq 60. Com x=60 a soma daria Gabriel =0, que não é positivo, então só restaria o produto, e Rafael saberia a resposta.

Assim, x é divisor de 60 menor que 60:

x\in D=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30\}.

Nesses casos há duas possibilidades para Gabriel: 60-x (soma) ou 60/x (produto). Elas são diferentes, e por isso Rafael realmente não sabe.

Rafael tem um divisor de 60.

b) Depois da fala de Rafael, Gabriel sabe que o número de Rafael está em D. Se Gabriel tivesse 15, as possibilidades seriam:

soma: Rafael teria 60-15=45, que não está em D (45 não divide 60);
produto: Rafael teria 60/15=4, que está em D.

Só 4 serve. Então Gabriel saberia o número de Rafael, o que contradiz o "ainda não tenho informação suficiente".

O caso 45 já tinha sido descartado pela fala de Rafael: com 45, ele saberia que Gabriel tem 15 (soma), pois 45 não divide 60.

Gabriel não pode ter 15, pois nesse caso saberia que Rafael tem 4.

c) Para Gabriel não saber, precisam existir dois valores possíveis para Rafael, ambos em D. Seja y o número de Gabriel:

60-y\in D dá y\in\{59,58,57,56,55,54,50,48,45,40,30\};
60/y\in D exige y divisor de 60 com y\neq 1 e y\neq 60, ou seja, y\in\{2,3,4,5,6,10,12,15,20,30\}.

O único valor comum às duas listas é y=30. Nesse caso, Rafael teria 30 (soma) ou 2 (produto), e Gabriel de fato não sabe qual.

Confirmando a última fala: sabendo que Gabriel tem 30, Rafael elimina as possibilidades.

Se x=30: Gabriel seria 30 (soma) ou 2 (produto). Como 2 foi descartado, fica 30.
Se x=2: Gabriel seria 58 (soma) ou 30 (produto). Como 58 foi descartado, fica 30.

Em ambos os casos Rafael conclui que Gabriel tem 30.

O número do cartão de Gabriel é 30.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗