Solução oficial da OBMEP
a) Cada quadradinho do tabuleiro deve ser preenchido com a soma do valor de sua linha com o valor de sua coluna.
9
14
19
30
15
20
25
36
19
24
29
40
b) Observe que para um tabuleiro preenchido corretamente, os valores que aparecem em uma linha qualquer têm, dois a dois, a mesma diferença entre si que os valores externos associados às colunas correspondentes. Observe:
[Figura: Esquema com um tabuleiro 3x3 com as letras a, b, c indicando as colunas e d, e, f indicando as linhas. Setas pretas curvas partem de a e c para as casas da linha e, contendo a+e e c+e, com um quadro explicativo indicando "mesmas diferenças: (c+e) - (a+e) = c - a". Uma seta vermelha curva liga a primeira e a terceira casa da linha f, com o texto "a diferença aqui também deve ser a mesma".]
A mesma observação pode ser feita quando observamos os valores que aparecem em uma coluna.
Agora vamos preencher o tabuleiro do item b).
Olhe para a terceira linha e compare-a com a primeira: de 20 para 27 houve um aumento de 7, logo, como observado acima, na primeira linha e segunda coluna teremos o 12 + 7 = 19 .
[Figura: Tabuleiro 3x3 com a primeira linha contendo 12, 19 (em vermelho) e 4; a segunda linha contendo 14 na terceira casa; e a terceira linha contendo 20 e 27.]
Olhe para a terceira coluna e compare-a com a segunda: de 4 para 14 temos um aumento de 10, logo teremos a segunda linha com 22 = 12 + 10 , 29 = 19 + 10 e 14.
[Figura: Tabuleiro 3x3 com os números 22 e 29 adicionados em vermelho na segunda linha, e um contorno vermelho vertical destacando os números 19 e 29.]
Por fim, compare a segunda com a terceira linha; na segunda linha e nas últimas colunas, passamos de 29 para 14, temos uma diminuição de 15; assim, na terceira linha também devemos, a partir do 27 diminuir 15 para obtermos o valor que ainda falta, que é 27 - 15 = 12 .
[Figura: Tabuleiro 3x3 completo, com a terceira linha destacada por um contorno vermelho contendo os valores 20, 27 e 12 (em vermelho).]
Vamos iniciar calculando o valor de x indicado abaixo.
a
b
c
d
12
x 4
e
y z 14
f
20
27
w
\begin{matrix}
a + d = 12 \\
a + f = 20 \\
b + f = 27 \\
b + d = x
\end{matrix}
\implies
\begin{aligned}
(a + d) + (b + f) &= 12 + 27 = 39 \\
a + (d + b) + f &= a + x + f = x + (a + f) = x + 20
\end{aligned}
\text{Logo, } x + 20 = 39 \text{ e } x = 19
O mesmo método serve para determinar y , z e w .
c) A soma de todos os valores colocados nos 9 quadradinhos será o triplo da soma dos valores das linhas e colunas, pois cada um dos números externos participará de 3 somas como podemos observar, por exemplo, no tabuleiro preenchido no item (a).
5
10
21
9
9+5
9+10
9+21
15
15+5
15+10
15+21
19
19+5
19+10
19+21
Note que cada número externo aparece 3 vezes nas somas internas. Mais ainda, somando os valores dos quadradinhos da diagonal principal teremos exatamente a soma dos valores externos.
Nomeamos os valores externos de acordo com a ilustração ao lado. Vamos agora descobrir o número escrito na casa cinza do tabuleiro ao lado, sabendo que a soma dos nove números que serão escritos nele deve ser 150. Observe que o número escrito na casa cinza é a + d . Como vimos acima, a soma dos números nos 9 quadrados do tabuleiro é 3 \times (a + b + c + d + e + f) = 150 , ou seja (a + d) + (b + e) + (c + f) = 50 . Portanto, (a + d) + 18 + 23 = 50 , ou seja, a + d = 9 .
[Figura: Tabuleiro 3x3 com letras a, b, c no topo e d, e, f à esquerda. A casa da linha d e coluna a está sombreada de cinza; a casa da linha e e coluna b contém o número 18; e a casa da linha f e coluna c contém o número 23.]
Ver como a OBMEP publicou Publicada pela banca.
Resolução comentada
a) Cada quadradinho recebe a soma do número da sua linha com o da sua coluna. As colunas são 5 , 10 e 21 e as linhas são 9 , 15 e 19 .
Linha do 9 : 9+5=14 , 9+10=19 , 9+21=30 .
Linha do 15 : 15+5=20 , 15+10=25 , 15+21=36 .
Linha do 19 : 19+5=24 , 19+10=29 , 19+21=40 .
O tabuleiro fica:
\begin{array}{|c|c|c|}\hline 14&19&30\\hline 20&25&36\\hline 24&29&40\\hline\end{array}
Resposta: tabuleiro acima.
b) Chame de r_1,r_2,r_3 os números das linhas e de c_1,c_2,c_3 os das colunas. Não precisamos descobrir cada um deles: basta comparar casas entre si.
Se duas casas estão na mesma linha, a diferença entre elas é a diferença entre os números das colunas, e vale o mesmo para qualquer outra linha.
Última casa (linha 3, coluna 3): ela é r_3+c_3 . Como (r_3+c_1)+(r_1+c_3)-(r_1+c_1)=r_3+c_3 , temos 20+4-12=12 .
Casa da linha 1, coluna 2: as casas 27 e 20 estão na linha 3, e a diferença 27-20=7 é c_2-c_1 . Então a casa vale 12+7=19 .
Casa da linha 2, coluna 1: na coluna 3, 14-4=10 é r_2-r_1 . Então a casa vale 12+10=22 .
Casa central: 19+10=29 . Conferindo pela linha 2, 22+7=29 .
O tabuleiro fica:
\begin{array}{|c|c|c|}\hline 12&19&4\\hline 22&29&14\\hline 20&27&12\\hline\end{array}
Resposta: os números que faltam são 19 , 22 , 29 e 12 .
c) Cada número de linha aparece em 3 casas, e cada número de coluna também. Então a soma total é
3(r_1+r_2+r_3)+3(c_1+c_2+c_3)=150,
logo r_1+r_2+r_3+c_1+c_2+c_3=50 .
A casa cinza é r_1+c_1 , a central é r_2+c_2=18 e a inferior direita é r_3+c_3=23 . Essas três casas, juntas, usam cada número de linha e cada número de coluna exatamente uma vez. A soma delas é então 50 :
(r_1+c_1)+18+23=50 \Rightarrow r_1+c_1=9.
Resposta: 9 .
Assuntos: Lógica e raciocínio lógico , Frações, decimais e operações básicas .
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