Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

Joana recortou vários quadrados e montou novas figuras com as peças obtidas.

a) Joana recortou um quadrado, cujo lado mede 10\ \text{cm}, em cinco tiras de mesmo tamanho, conforme a Figura 1. Depois ela juntou as tiras recortadas formando um retângulo, como na Figura 2. Qual é o perímetro desse retângulo?

Figura 1: quadrado dividido horizontalmente em cinco tiras de mesmo tamanho. Uma seta curva parte da Figura 1 e aponta para a Figura 2, que mostra as cinco tiras alinhadas horizontalmente formando um retângulo comprido.

b) Joana dividiu outro quadrado em três tiras iguais e depois recortou duas delas em triângulos isósceles e trapézios, como na Figura 3. Em seguida, montou o retângulo da Figura 4. Se o perímetro do retângulo da Figura 4 é 40\ \text{cm}, qual é a área do quadrado da Figura 3?

Figura 3: quadrado dividido horizontalmente em três tiras iguais, com a tira superior e a inferior cortadas diagonalmente formando triângulos e trapézios. Uma seta curva aponta para a Figura 4, que mostra as peças reorganizadas em um retângulo comprido.

c) Joana recortou o quadrado da Figura 5 em retângulos e triângulos com o auxílio do quadriculado inclinado ao lado, formado por quadradinhos de lado 1\ \text{cm}. Com essas peças ela formou o retângulo da Figura 6.

Qual é a área do quadrado da Figura 5?

Figura 5: quadrado decomposto em retângulos e triângulos alinhados com uma malha inclinada. Uma seta curva aponta para a Figura 6, que mostra as peças recombinadas na forma de um retângulo dividido em duas linhas horizontais.

Malha quadriculada inclinada a 45 graus, formada por quadradinhos de lado 1 cm.

d) Qual é o perímetro do retângulo da Figura 6?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Joana recortou vários quadrados e montou novas figuras com as peças obtidas.

a) Joana recortou um quadrado, cujo lado mede 10\ \text{cm}, em cinco tiras de mesmo tamanho, conforme a Figura 1. Depois ela juntou as tiras recortadas formando um retângulo, como na Figura 2. Qual é o perímetro desse retângulo?

Figura 1: quadrado dividido horizontalmente em cinco tiras de mesmo tamanho. Uma seta curva parte da Figura 1 e aponta para a Figura 2, que mostra as cinco tiras alinhadas horizontalmente formando um retângulo comprido.

b) Joana dividiu outro quadrado em três tiras iguais e depois recortou duas delas em triângulos isósceles e trapézios, como na Figura 3. Em seguida, montou o retângulo da Figura 4. Se o perímetro do retângulo da Figura 4 é 40\ \text{cm}, qual é a área do quadrado da Figura 3?

Figura 3: quadrado dividido horizontalmente em três tiras iguais, com a tira superior e a inferior cortadas diagonalmente formando triângulos e trapézios. Uma seta curva aponta para a Figura 4, que mostra as peças reorganizadas em um retângulo comprido.

c) Joana recortou o quadrado da Figura 5 em retângulos e triângulos com o auxílio do quadriculado inclinado ao lado, formado por quadradinhos de lado 1\ \text{cm}. Com essas peças ela formou o retângulo da Figura 6.

Qual é a área do quadrado da Figura 5?

Figura 5: quadrado decomposto em retângulos e triângulos alinhados com uma malha inclinada. Uma seta curva aponta para a Figura 6, que mostra as peças recombinadas na forma de um retângulo dividido em duas linhas horizontais.

Malha quadriculada inclinada a 45 graus, formada por quadradinhos de lado 1 cm.

d) Qual é o perímetro do retângulo da Figura 6?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

[Figura: Quadrado (Figura 1) dividido por linhas tracejadas em cinco faixas retangulares horizontais, com uma seta apontando para a Tira (Figura 2) formada pelas cinco peças retangulares dispostas lado a lado em linha reta]

Na Figura 1, temos o quadrado dividido em cinco retângulos cujos lados medem 10\text{ cm} e 2\text{ cm}. A tira formada por esses retângulos mostrada na Figura 2 é um retângulo cujos lados medem 50\text{ cm} e 2\text{ cm}; portanto, o perímetro do retângulo formado será dado por 50 + 50 + 2 + 2, ou seja, 104\text{ cm}.

b)

[Figura: Quadrado dividido em dois triângulos e dois trapézios, com uma seta apontando para a tira retangular formada pelo rearranjo dessas quatro peças]

Vamos chamar de \mathbf{L} o comprimento do lado do quadrado da Figura 3.

A medida da largura da tira é um terço do comprimento desse lado (\mathbf{L/3}), que também é a medida dos lados iguais dos triângulos isósceles; os lados horizontais dos trapézios que foram recortados medem \mathbf{L} e \mathbf{2L/3}.

[Figura: Esquema da tira retangular indicando a largura vertical L/3 e os comprimentos horizontais das quatro peças: L/3, L, 2L/3 e L]

Usando as medidas das peças, anotadas na figura acima, dado que o perímetro da tira é 40\text{ cm}, temos que: 40 = 2 \cdot \frac{L}{3} + 2 \cdot (\frac{L}{3} + \frac{2L}{3} + 2L), ou seja, 6L + \frac{2L}{3} = 40, daí \frac{20L}{3} = 40 e L = 6.

Consequentemente, a área do segundo quadrado cortado por Joana é 36\text{ cm}^2.

c)

[Figura: Quadrado sobreposto a uma malha pontilhada (Figura 5), subdividido em peças retangulares e triangulares, com uma seta apontando para a tira formada por essas peças (Figura 6)]

Recuperando o quadriculado utilizado por Joana para recortar as peças Figura 5, observamos que as peças retangulares da tira têm comprimentos 4\text{ cm} ou 2\text{ cm}; as larguras das tiras retangulares são 2\text{ cm} e os lados iguais dos triângulos medem 1\text{ cm}.

[Figura: O quadrado quadriculado com uma seta apontando para a tira, destacando o comprimento das duas partes retangulares como 4 e 2]

Observe que o comprimento da Figura 6 é 9\text{ cm} e sua largura, 2\text{ cm}, logo, a área da Figura 6 é 18\text{ cm}^2. Joana usou todas as peças da decomposição do quadrado para formar a tira, portanto, ambas as figuras têm a mesma área; logo, a área do quadrado da Figura 5 é 18\text{ cm}^2.

Outra solução: Podemos também calcular a área das figuras 5 e 6 observando, no quadriculado que aparece sobre a Figura 5, que as regiões retangulares são equivalentes a 12 quadrados do quadriculado e cada par de triângulos equivale a um quadradinho do quadriculado; portanto, temos uma decomposição da Figura 5 que é equivalente a 18 quadrados do quadriculado, e a área da Figura 5 é 18\text{ cm}^2.

Observamos que, nesse item, temos uma situação especial na qual o comprimento da diagonal do quadrado é um número inteiro, o que nos permite calcular a área do quadrado sem conhecer o comprimento do seu lado.

d) Com as informações do item c), temos que o perímetro da Figura 6 é 2 \cdot 2 + 2 \cdot (4 + 2 + 3) = 4 + 18 = 22\text{ cm}.

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Resolução comentada

a) O quadrado tem lado 10\ \text{cm} e foi cortado em 5 tiras iguais. Cada tira mede 10\ \text{cm} por \frac{10}{5}=2\ \text{cm}.

Ao colocar as tiras lado a lado, o comprimento do retângulo é 5\cdot 10=50\ \text{cm} e a altura continua 2\ \text{cm}.

P=2(50+2)=104\ \text{cm}

O perímetro é 104\ \text{cm}.

b) Seja s o lado do quadrado. Cada uma das 3 tiras mede s\times \frac{s}{3}. Recortar duas delas em triângulos e trapézios e remontar não muda a área nem a largura das tiras. O retângulo da Figura 4 equivale a três tiras colocadas em fila, com comprimento 3s e altura \frac{s}{3}.

Perímetro: 2\left(3s+\frac{s}{3}\right)=\frac{20s}{3}.
Igualando a 40: \frac{20s}{3}=40, logo s=6\ \text{cm}.
Área do quadrado: 6^2=36\ \text{cm}^2.

A área é 36\ \text{cm}^2.

c) Todas as peças foram cortadas sobre o quadriculado de quadradinhos de 1\ \text{cm}, então as medidas das peças da Figura 6 podem ser lidas nesse quadriculado. O retângulo da Figura 6 tem duas linhas, cada uma com altura de 1\ \text{cm}. Da esquerda para a direita, cada linha tem:

um retângulo de 4\ \text{cm} de comprimento;
um retângulo de 2\ \text{cm} de comprimento;
três quadradinhos de 1\ \text{cm}, formados pelos triângulos.

O comprimento total é 4+2+3=9\ \text{cm} e a altura total é 2\ \text{cm}.

As peças da Figura 5 são as mesmas da Figura 6, então as áreas são iguais:

A=9\cdot 2=18\ \text{cm}^2

Confere com o lado do quadrado: ele acompanha 3 diagonais de quadradinho, ou seja, 3\sqrt2\ \text{cm}, e (3\sqrt2)^2=18.

A área é 18\ \text{cm}^2.

d) O retângulo da Figura 6 mede 9\ \text{cm} por 2\ \text{cm}.

P=2(9+2)=22\ \text{cm}

O perímetro é 22\ \text{cm}.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 3 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2025

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