Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

Um tabuleiro 3 \times 20 foi preenchido com os números de 1 a 60, sendo que cada linha foi preenchida da esquerda para a direita com os números em ordem crescente. A primeira linha foi preenchida com os números de 1 a 20, a segunda linha, com os números de 21 a 40 e a terceira linha, com os números de 41 a 60. Cada uma das figuras abaixo mostra um pedaço desse tabuleiro.

a) Qual é o valor de x?

Pedaço do tabuleiro com 3 linhas e 3 colunas visíveis. Na primeira linha e terceira coluna está o número 17. Na terceira linha e primeira coluna está a letra x.

b) Os números y, z e w na figura a seguir são divisíveis por um mesmo número natural d maior do que 1. Qual é o valor de d?

Pedaço do tabuleiro com 3 linhas e 7 colunas visíveis. Na primeira linha e sexta coluna está a letra y. Na segunda linha e sétima coluna está a letra z. Na terceira linha e primeira coluna está a letra w.

c) Quais são os possíveis valores de y no item anterior?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Um tabuleiro 3 \times 20 foi preenchido com os números de 1 a 60, sendo que cada linha foi preenchida da esquerda para a direita com os números em ordem crescente. A primeira linha foi preenchida com os números de 1 a 20, a segunda linha, com os números de 21 a 40 e a terceira linha, com os números de 41 a 60. Cada uma das figuras abaixo mostra um pedaço desse tabuleiro.

a) Qual é o valor de x?

Pedaço do tabuleiro com 3 linhas e 3 colunas visíveis. Na primeira linha e terceira coluna está o número 17. Na terceira linha e primeira coluna está a letra x.

b) Os números y, z e w na figura a seguir são divisíveis por um mesmo número natural d maior do que 1. Qual é o valor de d?

Pedaço do tabuleiro com 3 linhas e 7 colunas visíveis. Na primeira linha e sexta coluna está a letra y. Na segunda linha e sétima coluna está a letra z. Na terceira linha e primeira coluna está a letra w.

c) Quais são os possíveis valores de y no item anterior?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Observe que cada vez que descemos uma casa, o número escrito aumenta 20. Toda vez que vamos uma casa para esquerda, o número escrito diminui em 1. Portanto, x = 17 + 20 + 20 - 1 - 1 = 55.

b) Temos que z = y + 20 + 1 = y + 21 e que w = y + 20 + 20 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 = y + 35. Se d é divisor de y, y + 21 e y + 35, então d é divisor de 21 e de 35. Como \text{mdc}(21,35) = 7, d é divisor de 7. Sabendo que d é maior do que 1, concluímos que d = 7.

c) Como y está na primeira linha, os únicos múltiplos de 7 que estão entre 1 e 20 são: 7 e 14.

Note que temos os seguintes valores para as triplas de letras (y,z,w) = (7, 28, 42) ou (y,z,w) = (14, 35, 49).

[Figura: Dois tabuleiros retangulares com os números de 1 a 60 organizados em 3 linhas e 20 colunas. No primeiro tabuleiro, os números 7, 28 e 42 estão circulados em vermelho. No segundo tabuleiro, os números 14, 35 e 49 estão circulados em vermelho.]

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Resolução comentada

a) Os números de cada linha crescem de 1 em 1 da esquerda para a direita. De uma linha para a de baixo, na mesma coluna, a diferença é 20.

Na figura, o x está duas linhas abaixo e duas colunas à esquerda do 17. Descer duas linhas soma 40 e andar duas colunas para a esquerda subtrai 2:

x = 17 + 40 - 2 = 55

Conferindo: 17 está na coluna 17 da linha 1, e x está na coluna 15 da linha 3, ou seja, 40 + 15 = 55.

x = 55

b) Seja c a coluna do tabuleiro em que começa o pedaço da figura. Como o pedaço tem 7 colunas, 1 \le c \le 14.

y está na linha 1, na 6ª coluna do pedaço: y = c+5.
z está na linha 2, na 7ª coluna do pedaço: z = 20 + (c+6) = c+26.
w está na linha 3, na 1ª coluna do pedaço: w = 40 + c.

As diferenças não dependem de c:

z - y = 21,\qquad w - z = 14.

Se d divide y, z e w, então d divide 21 e 14. O único divisor comum maior que 1 é 7, pois \text{mdc}(21,14)=7 e 7 é primo. Também w - y = 35 é múltiplo de 7, o que é consistente.

d = 7

c) Precisamos que y = c+5 seja múltiplo de 7, com 1 \le c \le 14. Então 6 \le y \le 19, e os múltiplos de 7 nesse intervalo são 7 e 14.

y=7: c=2, z=28, w=42, todos múltiplos de 7.
y=14: c=9, z=35, w=49, todos múltiplos de 7. Aqui o pedaço ocupa as colunas 9 a 15, o que cabe no tabuleiro.

y = 7 ou y = 14

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 2 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗