Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

Um número de quatro algarismos é chamado dourado se:

seus algarismos são todos diferentes;
não possui o algarismo zero;
o algarismo dos milhares é menor do que o algarismo das unidades;
o número formado pelos algarismos das centenas e das dezenas é o produto do algarismo das unidades com o algarismo dos milhares.

Por exemplo, 3248 é um número dourado.

a) Complete os espaços vazios para formar um número dourado.

\underline{\hspace{1.5em}}\ \underline{\ 1\ }\ \underline{\ 2\ }\ \underline{\hspace{1.5em}}

b) Escreva nos espaços abaixo o menor número dourado.

c) Explique por que o algarismo das unidades de um número dourado não pode ser 5.

d) Encontre todos os números dourados nos quais aparece o algarismo 5.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Sistemas de numeração

Um número de quatro algarismos é chamado dourado se:

seus algarismos são todos diferentes;
não possui o algarismo zero;
o algarismo dos milhares é menor do que o algarismo das unidades;
o número formado pelos algarismos das centenas e das dezenas é o produto do algarismo das unidades com o algarismo dos milhares.

Por exemplo, 3248 é um número dourado.

a) Complete os espaços vazios para formar um número dourado.

\underline{\hspace{1.5em}}\ \underline{\ 1\ }\ \underline{\ 2\ }\ \underline{\hspace{1.5em}}

b) Escreva nos espaços abaixo o menor número dourado.

c) Explique por que o algarismo das unidades de um número dourado não pode ser 5.

d) Encontre todos os números dourados nos quais aparece o algarismo 5.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Seja A12D esse número. Uma das condições para que se forme um número dourado é \text{A} \times \text{D} = 12.

Mas 12 pode ser escrito como 2 \times 6 ou 3 \times 4 devido às condições do problema, ou seja, com A e D algarismos entre 1 e 9. Os algarismos de um número dourado devem ser distintos e, além disso, \text{A} < \text{D}; portanto, a única opção válida é \text{A} = 3 e \text{D} = 4. O número procurado é 3124.

b) Vamos chamar de ABCD o menor número dourado. Vamos escolher o menor valor possível para A.

Não podemos ter \text{A} = 1, pois \text{A} \times 1 = \text{A} e não teríamos como obter os dois algarismos não nulos B e C. Se \text{A} = 2, então \text{A} \times \text{D} deverá gerar o menor número possível de dois algarismos, sem o zero e sem repetir algarismos.

2 \times 1 = 2, 2 \times 2 = 4, 2 \times 3 = 6, 2 \times 4 = 8 não servem pois são números de apenas 1 algarismo.

Em 2 \times 5 = 10 aparece o zero, em 2 \times 6 = 12 o 2 aparece repetido. No caso 2 \times 7 = 14 todas as condições do enunciado ficam verificadas e o menor número dourado é 2147.

Como curiosidade, o maior número dourado é 8729.

c) Vamos supor que o algarismo das unidades é 5; portanto, nosso número teria a forma ABC5 e teríamos ainda que \text{A} \times 5 = \text{BC}, em outras palavras, o número BC seria múltiplo de 5. Todo número múltiplo de 5 termina em 5 ou 0. Como em um número dourado o zero não aparece e os algarismos não se repetem, então não existe um número dourado que tem o algarismo das unidades como 5.

d) Não existem números dourados com 5 na casa dos milhares, devido a raciocínio análogo ao item anterior (faz aparecer 0 ou repetir o 5). Também não existem números dourados com algarismo 5 na casa das dezenas, pelos mesmos motivos.

Resta analisar números da forma A5CD. Devemos ter que o número de dois algarismos 5C é igual ao produto \text{A}\cdot\text{D}. Vamos listar todos os números de dois algarismos da forma 5C e vamos escrever sua fatoração, lembrando que o zero não pode aparecer e não que não podem aparecer algarismos repetidos (assim, excluímos 50 e 55). Devemos encontrar A e D como números entre 1 e 9, com \text{A} < \text{D}.

51 = 3 \cdot 17 e 17 é um número primo com dois algarismos.

52 = 2 \cdot 2 \cdot 13 e 13 é um número primo com dois algarismos.

53 é um número primo de dois algarismos.

54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 e podemos escrever 54 como o produto de dois números de um algarismo como 54 = 6 \cdot 9.

Temos aqui o número dourado 6549.

56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 e podemos escrever 56 como o produto de dois números de um algarismo como 56 = 8 \cdot 7.

Temos aqui o número dourado 7568.

58 = 2 \cdot 29 e 29 é um número primo com dois algarismos.

59 é um número primo.

Conclusão: os números dourados com o algarismo 5 na centena são 6549 e 7568.

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Resolução comentada

Se o número é abcd, a condição do produto diz que \overline{bc}=a\cdot d, com a<d, todos os algarismos diferentes e nenhum zero.

a) Aqui b=1 e c=2, então a\cdot d=12 com a<d. As possibilidades são a=2,\ d=6 ou a=3,\ d=4 (o caso 1\cdot 12 não vale, pois d é um algarismo).

Com a=2 e d=6, o algarismo 2 apareceria duas vezes, o que não é permitido. Com a=3 e d=4, os algarismos 3,1,2,4 são todos diferentes e 3\cdot4=12.

O número é 3124.

b) Para o número ser pequeno, queremos o menor a possível.

Se a=1: o produto 1\cdot d=d tem um só algarismo, mas precisa ter dois. Não serve.
Se a=2: d>2 e 2d precisa ter dois algarismos, então d\ge5. Para d=5 temos 10, que tem zero. Para d=6 temos 12, que repete o 2. Para d=7 temos 14 e o número 2147, com algarismos diferentes e sem zero.

Como d=7 é o menor valor que funciona com a=2, o menor número dourado é 2147.

c) Suponha d=5. Como a<5, o produto 5a pode ser 5,\ 10,\ 15 ou 20.

5 tem um só algarismo.
10 e 20 têm zero.
15 repete o algarismo 5, que já está nas unidades.

Nenhum caso é possível, então o algarismo das unidades não pode ser 5.

d) Pelo item c), o 5 não está nas unidades. Vejamos os outros lugares.

5 nos milhares (a=5): então d\in\{6,7,8,9\} e os produtos são 30,\ 35,\ 40,\ 45. Dois têm zero e dois repetem o 5. Nenhum serve.
5 nas centenas ou nas dezenas: o produto a\cdot d (com a,d\ne5) é um número de dois algarismos, sem zero, que contém o 5. Os produtos de 10 a 81 que contêm o 5 são 15, 25, 35, 45, 51, \dots, 59, 65, 75. Entre eles, só podem ser escritos como produto de dois algarismos diferentes de 5 os números 54=6\cdot9 e 56=7\cdot8. Os demais (15, 25, 35, 45, 65, 75) têm o fator 5, e 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59 não são produtos de dois algarismos.

Com 54=6\cdot9 obtemos 6549. Com 56=7\cdot8 obtemos 7568. Em ambos os algarismos são diferentes e não há zero.

Os números dourados com o algarismo 5 são 6549 e 7568.

Assuntos: Sistemas de numeração, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 4 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2025

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